题目

Problem

The curve $C$ has equation

y = \frac{12x^3(x-7)+14x(13x-15)}{21\sqrt{x}} \qquad x > 0

(a) Write the equation of $C$ in the form

y = ax^{\frac{7}{2}} + bx^{\frac{5}{2}} + cx^{\frac{3}{2}} + dx^{\frac{1}{2}}

where $a$ , $b$ , $c$ and $d$ are fully simplified constants.

(3)

The curve $C$ has three turning points.

Using calculus,

(b) show that the $x$ coordinates of the three turning points satisfy the equation

2x^3 - 10x^2 + 13x - 5 = 0

(3)

Given that the $x$ coordinate of one of the turning points is $1$

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(3)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的方程为

y=\frac{12x^3(x-7)+14x(13x-15)}{21\sqrt x}, \qquad x>0.

(a) 将 $C$ 的方程写成以下形式，其中 $a,b,c,d$ 均为已完全化简的常数。（3 分）

y=ax^{7/2}+bx^{5/2}+cx^{3/2}+dx^{1/2}.

曲线 $C$ 有三个转折点。使用微积分，

(b) 证明这三个转折点的 $x$ 坐标满足

2x^3-10x^2+13x-5=0.

（3 分）

已知其中一个转折点的 $x$ 坐标为 1，

解答

(a)

解法一

思路

展开

先展开分子，再将每项除以 $21\sqrt x=21x^{1/2}$ ，用 $x^m/x^n=x^{m-n}$ 化简指数，并约分系数。

答题过程

展开

Expanding the numerator,

\begin{align*} &\,12x^3(x-7)+14x(13x-15)\\ =&\,12x^4-84x^3+182x^2-210x. \end{align*}

Dividing each term by $21x^{1/2}$ ,

\begin{align*} y=&\,\frac{12x^4}{21x^{1/2}}-\frac{84x^3}{21x^{1/2}}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{182x^2}{21x^{1/2}}-\frac{210x}{21x^{1/2}}\\ =&\,\frac47x^{7/2}-4x^{5/2}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{26}{3}x^{3/2}-10x^{1/2}. \end{align*}

Therefore

a=\frac47,\quad b=-4,\quad c=\frac{26}{3},\quad d=-10.

(b)

解法一

思路

展开

转折点处导数为零。对 (a) 的幂式逐项求导，再乘以 $\sqrt x$ ，即可得到题目要求的三次方程。因为 $x>0$ ，乘以 $\sqrt x$ 不会改变方程的解。

答题过程

展开

Using the power rule,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac47\times\frac72x^{5/2} -4\times\frac52x^{3/2}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{26}{3}\times\frac32x^{1/2} -10\times\frac12x^{-1/2}\\ =&\,2x^{5/2}-10x^{3/2}\\ &\,\hspace{2pt}+13x^{1/2}-5x^{-1/2}\\ =&\,x^{-1/2}(2x^3-10x^2+13x-5). \end{align*}

At the turning points, $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=0$ . Since $x>0$ , multiplying by $\sqrt x$ gives

2x^3-10x^2+13x-5=0,

as required.

(c)

解法一

思路

展开

已知 $x=1$ 是根，因此 $x-1$ 是因式。设另一个因式为 $2x^2+px+q$ ，展开并比较系数求 $p,q$ ，再用求根公式求另外两个精确根。不能用计算器小数代替代数推导。

答题过程

展开

Since $x=1$ is a root, write

\begin{align*} 2x^3-10x^2+13x-5 =&\,(x-1)(2x^2+px+q). \end{align*}

Comparing coefficients gives

\begin{align*} p-2=&\,-10\\ q-p=&\,13\\ -q=&\,-5. \end{align*}

Thus $p=-8$ and $q=5$ , so

\begin{align*} 2x^3-10x^2+13x-5 =&\,(x-1)(2x^2-8x+5). \end{align*}

The other roots satisfy $2x^2-8x+5=0$ . Using the quadratic formula,

\begin{align*} x=&\,\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4(2)(5)}}{4}\\ =&\,\frac{8\pm\sqrt{24}}4\\ =&\,\frac{4\pm\sqrt6}{2}. \end{align*}

The exact $x$ coordinates are

x=\frac{4-\sqrt6}{2},\qquad x=\frac{4+\sqrt6}{2}.

P2 2022 Oct Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程