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P2 2022 Oct Q8

A Level / Edexcel / P2

IAL 2022 Oct Paper · Question 8

题目

Problem

A geometric sequence has first term aa and common ratio rr

Given that S∞=3aS_{\infty} = 3a

(a) show that r=23r = \dfrac{2}{3}

(2)

Given also that

u2−u4=16u_2 - u_4 = 16

where uku_k is the kthk\text{th} term of this sequence,

(b) find the value of S10S_{10} giving your answer to one decimal place.

(5)
题目中文翻译

一个等比数列的首项为 aa，公比为 rr。已知 S∞=3aS_\infty=3a。

(a) 证明 r=2/3r=2/3。（2 分）

另知 u2−u4=16u_2-u_4=16，其中 uku_k 为这个数列的第 kk 项。

(b) 求 S10S_{10} 的值，答案保留一位小数。（5 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

等比数列（Geometric sequence）的无穷项和（Sum to infinity）公式为：

S∞=a1−r(∣r∣<1)S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \qquad (|r| < 1)

已知 S∞=3aS_{\infty} = 3a，我们可以建立方程：

a1−r=3a\frac{a}{1 - r} = 3a

题目另给 u2−u4=16u_2-u_4=16，所以 a≠0a\ne0。因此我们可以在方程两边同时约去 aa：

11−r=3\frac{1}{1 - r} = 3

解这个关于 rr 的一元一次方程即可：

1−r= 13r= 1−13=23\begin{align*} 1 - r=&\,\frac{1}{3}\\ r=&\,1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \end{align*}

答题过程

展开

Using the formula for the sum to infinity of a geometric sequence:

S∞=a1−rS_{\infty} = \frac{a}{1 - r}

Given that S∞=3aS_{\infty} = 3a:

a1−r=3a\frac{a}{1 - r} = 3a

Since u2−u4=16u_2-u_4=16, we have a≠0a\neq0. Hence we can divide both sides by aa:

11−r= 31−r= 13r= 1−13r= 23(proven)\begin{align*} \frac{1}{1 - r} =&\, 3 \\ 1 - r =&\, \frac{1}{3} \\ r =&\, 1 - \frac{1}{3} \\ r =&\, \frac{2}{3} \quad \text{(proven)} \end{align*}

解法二：代入验证公比

思路

展开

代入给出的 r=2/3r=2/3，验证 ∣r∣<1|r|<1，且无穷项和为 3a3a。由于 a≠0a\ne0，关系 a/(1−r)=3aa/(1-r)=3a 也唯一确定这个公比。

答题过程

展开

For r=2/3r=2/3, we have ∣r∣<1|r|<1, and

S∞= a1−2/3= a1/3= 3a.\begin{align*} S_\infty=&\,\frac{a}{1-2/3}\\ =&\,\frac{a}{1/3}\\ =&\,3a. \end{align*}

This satisfies the given condition, so r=2/3r=2/3, as required.

(b)

解法一

思路

展开

等比数列的通项公式为 uk=ark−1u_k = a r^{k-1}。 因此我们可以将 u2u_2 和 u4u_4 用首项 aa 和公比 rr 表达：

  • u2=aru_2 = ar
  • u4=ar3u_4 = ar^3 已知 u2−u4=16u_2 - u_4 = 16，代入可得：
ar−ar3= 16ar(1−r2)= 16\begin{align*} ar - ar^3=&\,16\\ ar(1 - r^2)=&\,16 \end{align*}

将 (a) 中求得的 r=23r = \dfrac{2}{3} 代入方程：

a(23)(1−(23)2)= 16a(23)(59)= 16.\begin{align*} a\Big(\frac23\Big)\Big(1-\Big(\frac23\Big)^2\Big)=&\,16\\ a\Big(\frac23\Big)\Big(\frac59\Big)=&\,16. \end{align*} a⋅1027= 16a= 16×2710=43.2\begin{align*} a \cdot \frac{10}{27}=&\,16\\ a=&\,16 \times \frac{27}{10} = 43.2 \end{align*}

现在我们拥有首项 a=43.2a = 43.2，公比 r=23r = \dfrac{2}{3}。需要计算前 10 项和 S10S_{10}，使用前 nn 项和公式：

Sn=a(1−rn)1−rS_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

代入 n=10n = 10：

S10= 43.2(1−(2/3)10)1−2/3= 129.6(1−102459049).\begin{align*} S_{10}=&\,\frac{43.2\big(1-(2/3)^{10}\big)}{1-2/3}\\ =&\,129.6\Big(1-\frac{1024}{59049}\Big). \end{align*}

利用计算器计算并保留一位小数。

答题过程

展开

The general term of a geometric sequence is given by uk=ark−1u_k = ar^{k-1}.

Therefore:

u2=ar,u4=ar3u_2 = ar, \quad u_4 = ar^3

Given that u2−u4=16u_2 - u_4 = 16:

ar−ar3= 16ar(1−r2)= 16\begin{align*} ar - ar^3 =&\, 16 \\ ar(1 - r^2) =&\, 16 \end{align*}

Substitute r=23r = \dfrac{2}{3} into the equation:

a(23)(1−(23)2)= 16a(23)(1−49)= 16a(23)(59)= 161027a= 16a= 16×2710a= 43.2(or 2165)\begin{align*} a\Big(\frac{2}{3}\Big)\Big(1 - \Big(\frac{2}{3}\Big)^2\Big) =&\, 16 \\ a\Big(\frac{2}{3}\Big)\Big(1 - \frac{4}{9}\Big) =&\, 16 \\ a\Big(\frac{2}{3}\Big)\Big(\frac{5}{9}\Big) =&\, 16 \\ \frac{10}{27}a =&\, 16 \\ a =&\, 16 \times \frac{27}{10} \\ a =&\, 43.2 \quad \Big(\text{or } \frac{216}{5}\Big) \end{align*}

Now, using the sum formula Sn=a(1−rn)1−rS_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r} to find S10S_{10}:

S10= 43.2(1−(23)10)1−23= 43.2(1−(23)10)13= 129.6(1−(23)10)= 129.6(1−102459049)= 129.6×0.982658...= 127.352...≈ 127.4(to 1 decimal place)\begin{align*} S_{10} =&\, \frac{43.2\Big(1 - \Big(\frac{2}{3}\Big)^{10}\Big)}{1 - \frac{2}{3}} \\ =&\, \frac{43.2\Big(1 - \Big(\frac{2}{3}\Big)^{10}\Big)}{\frac{1}{3}} \\ =&\, 129.6\Big(1 - \Big(\frac{2}{3}\Big)^{10}\Big) \\ =&\, 129.6\Big(1 - \frac{1024}{59049}\Big) \\ =&\, 129.6 \times 0.982658... \\ =&\, 127.352... \\ \approx&\, 127.4 \quad (\text{to 1 decimal place}) \end{align*}