点 $T$ 是曲线 $C_1$ 的极小值点（minimum turning point）。因此它的 $x$ 坐标必须满足导数 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$，且二阶导数 $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x} > 0$。

1. 对 $C_1$ 方程求导： $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^2 - 10x + 3$$
2. 令其为零并因式分解求解： $$3x^2 - 10x + 3 = 0 \implies (3x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = \frac{1}{3} \text{ 或 } x = 3$$
3. 二阶导数为 $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = 6x - 10$。
   • 当 $x = \dfrac{1}{3}$ 时，$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = -8 < 0$（极大值点）。
   • 当 $x = 3$ 时，$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = 8 > 0$（极小值点）。 因此极小值点 $T$ 的 $x$ 坐标为 $3$。
4. 将 $x=3$ 代入原曲线方程求出 $y$ 坐标。

Differentiate the equation of $C_1: y = x^3 - 5x^2 + 3x + 14$:

At stationary points, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$:

This yields $x = \dfrac{1}{3}$ or $x = 3$.

To identify the minimum turning point, we find the second derivative:

• At $x = \dfrac{1}{3}$: $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = 6\left(\dfrac{1}{3}\right) - 10 = -8 < 0$ (Maximum)
• At $x = 3$: $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = 6(3) - 10 = 8 > 0$ (Minimum)

Therefore, the minimum turning point $T$ occurs at $x = 3$.

Find the $y$-coordinate of $T$ by substituting $x = 3$ into the equation of $C_1$:

Thus, the coordinates of $T$ are $(3, 5)$.

圆的方程通用形式为：

其中圆心为 $(x_0, y_0) = T(3, 5)$。 我们已知交点 $A$ 的 $x$ 坐标为 $2$。由于 $A$ 在曲线 $C_1$ 上，我们可将 $x=2$ 代入 $C_1$ 方程求出 $y_A$。 求出 $A$ 坐标后，利用两点间距离公式算出半径平方 $r^2 = (x_A - x_T)^2 + (y_A - y_T)^2$，即可写出圆方程。

Find the $y$-coordinate of point $A$ by substituting $x_A = 2$ into the equation of $C_1$:

So, the coordinates of $A$ are $(2, 8)$.

The circle $C_2$ has center $T(3, 5)$. The radius squared $r^2$ is the distance squared between $T(3, 5)$ and $A(2, 8)$:

Therefore, the equation of the circle $C_2$ is:

直线 $l$ 是圆在点 $A(2, 8)$ 处的切线。 根据圆的几何性质，切线与过切点的半径 $TA$ 垂直。

1. 先求出半径 $TA$ 的斜率 $m_{TA}$： $$m_{TA} = \frac{y_A - y_T}{x_A - x_T} = \frac{8 - 5}{2 - 3} = -3$$
2. 利用垂直直线斜率乘积为 $-1$ 的关系，求出切线 $l$ 的斜率 $m_l$： $$m_l = -\frac{1}{m_{TA}} = \frac{1}{3}$$
3. 使用点斜式写出过点 $A(2, 8)$ 的切线方程并化简。

The gradient of the radius $TA$ joining the center $T(3, 5)$ and the point $A(2, 8)$ is:

Since the tangent line $l$ is perpendicular to the radius $TA$ at $A$, the gradient $m_l$ of the tangent line is:

The equation of the line $l$ passing through $A(2, 8)$ is:

由图 3 可知，阴影区域 $R$ 在 $x \in [0, 2]$ 区间内，由上方曲线 $C_1$、下方直线 $l$ 以及 $y$ 轴（$x=0$）围成。 直接对上方曲线减去下方直线在区间 $[0, 2]$ 上积分：

化简被积函数，然后利用微积分基本定理进行积分求解。

The upper boundary of $R$ is $C_1: y = x^3 - 5x^2 + 3x + 14$ and the lower boundary is the line $l: y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{22}{3}$. The region extends from $x = 0$ to $x = 2$.

阴影部分面积可以通过两块简单面积作差求得：

1. 积分求出曲线 $C_1$ 从 $x=0$ 到 $x=2$ 下方的面积： $$\int_0^2 (x^3 - 5x^2 + 3x + 14)\,\mathrm{d}x$$
2. 直线 $l$ 下方与 $x$ 轴围成的部分在 $x \in [0, 2]$ 之间是一个直角梯形，其左右两边平行高度分别为 $y(0) = \frac{22}{3}$ 和 $y(2) = 8$，宽度为 2。 梯形面积公式为： $$A_{\text{trapezium}} = \frac{1}{2} (a + b) h = \frac{1}{2} \left( \frac{22}{3} + 8 \right) \times 2 = \frac{46}{3}$$
3. 将两者作差即可得到阴影部分的面积。

1. Area under $C_1$:

   $$\begin{align*} \int_{0}^{2} (x^3 - 5x^2 + 3x + 14)\,\mathrm{d}x =&\,\, \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{5x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 14x \right]_0^2 \\[2mm] =&\,\, \left( \frac{16}{4} - \frac{40}{3} + \frac{3(4)}{2} + 14(2) \right) - 0 \\[2mm] =&\,\, 4 - \frac{40}{3} + 6 + 28 \\[2mm] =&\,\, 38 - \frac{40}{3} \\[2mm] =&\,\, \frac{114 - 40}{3} = \frac{74}{3} \end{align*}$$

2. Area of the trapezium under $l$: The vertical heights of the trapezium at $x = 0$ and $x = 2$ are: $y(0) = \frac{22}{3}, \quad y(2) = 8$ The width is $2$:

   $$\begin{align*} \text{Area}_{\text{trapezium}} =&\,\, \frac{1}{2} \left(\frac{22}{3} + 8\right) \times 2 \\[2mm] =&\,\, \frac{22}{3} + \frac{24}{3} = \frac{46}{3} \end{align*}$$

3. Area of $R$:

   $$\begin{align*} \text{Area}(R) =&\,\, \text{Area under } C_1 - \text{Area}_{\text{trapezium}} \\[2mm] =&\,\, \frac{74}{3} - \frac{46}{3} \\[2mm] =&\,\, \frac{28}{3} \end{align*}$$