题目

Problem

Figure 1 shows a sketch of part of the curve with equation $y = \mathrm{f}(x)$ .

The table below shows some corresponding values of $x$ and $y$ for this curve. The values of $y$ are given to 3 decimal places.

$x$	$-1$	$-0.5$	$0$	$0.5$	$1$
$y$	$2.287$	$4.470$	$6.719$	$7.291$	$2.834$

Using the trapezium rule with all the values of $y$ in the given table,

(a) obtain an estimate for

\int_{-1}^1 \mathrm{f}(x) \, \mathrm{d}x

giving your answer to 2 decimal places.

(3)

(b) Use your answer to part (a) to estimate

(i) $\int_{-1}^1 (\mathrm{f}(x) - 2) \, \mathrm{d}x$

(ii) $\int_{1}^{3} \mathrm{f}(x-2) \, \mathrm{d}x$

(3)

题目中文翻译

图 1 为曲线 $y=\mathrm{f}(x)$ 的一部分示意图。下表给出部分对应的 $x,y$ 值， $y$ 值保留三位小数。

$x$	$-1$	$-0.5$	$0$	$0.5$	$1$
$y$	$2.287$	$4.470$	$6.719$	$7.291$	$2.834$

使用梯形法则及表中全部 $y$ 值，

(a) 估算 $\int_{-1}^{1}\mathrm{f}(x)\,\mathrm{d}x$ ，答案保留两位小数。（3 分）

(b) 使用 (a) 的答案估算：

(i) $\int_{-1}^{1}(\mathrm{f}(x)-2)\,\mathrm{d}x$

(ii) $\int_1^3\mathrm{f}(x-2)\,\mathrm{d}x$

（3 分）

解答

(a)

解法一

思路

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梯形法则（Trapezium Rule）的公式为：

\int_a^b y \, \mathrm{d}x \approx \frac{h}{2} [y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1})]

其中，步长 $h$ 是相邻 $x$ 值的差：

\begin{align*} h =&\, -0.5 - (-1) \\ =&\, 0.5 \end{align*}

将表中的 $y$ 值依次代入公式计算即可。首项 $y_0 = 2.287$ ，末项 $y_n = 2.834$ ，中间项为 $4.470, 6.719, 7.291$ 。

答题过程

展开

The step size $h$ is given by:

\begin{align*} h =&\, 0.5. \end{align*}

Using the trapezium rule:

\begin{align*} \int_{-1}^1 \mathrm{f}(x) \, \mathrm{d}x \approx&\, \frac{h}{2} \Big[ y_0 + y_4 + 2(y_1 + y_2 + y_3) \Big] \\ =&\, \frac{0.5}{2} \Big[ 2.287 + 2.834 + 2(4.470 + 6.719 + 7.291) \Big] \\ =&\, 0.25 \Big[ 5.121 + 2(18.480) \Big] \\ =&\, 0.25 \Big[ 5.121 + 36.960 \Big] \\ =&\, 0.25 \Big[ 42.081 \Big] \\ =&\, 10.52025. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} \int_{-1}^1 \mathrm{f}(x) \, \mathrm{d}x \approx&\, 10.52 \quad \text{(to 2 d.p.)}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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(i) 利用定积分的线性性质拆分：

\begin{align*} \int_{-1}^1 (\mathrm{f}(x) - 2) \, \mathrm{d}x =&\,\int_{-1}^1 \mathrm{f}(x) \, \mathrm{d}x\\ &\,\hspace{2pt}-\int_{-1}^1 2 \, \mathrm{d}x. \end{align*}

其中，常数定积分部分为 $2 \times (1 - (-1)) = 4$ 。因此只需将 (a) 小题的结果减去 $4$ 。

(ii) 观察被积函数 $\mathrm{f}(x-2)$ ，这是一个水平向右平移 $2$ 单位后的函数。积分区间也从 $[-1, 1]$ 平移到了 $[1, 3]$ 。由于平移不改变曲线下的面积，因此这个积分值与 (a) 小题完全相同。也可以用换元法：设 $u = x-2$ ，则 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ ，且当 $x=1$ 时 $u=-1$ ，当 $x=3$ 时 $u=1$ 。故原式化为 $\int_{-1}^1 \mathrm{f}(u) \, \mathrm{d}u$ 。

答题过程

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(i)

Using the properties of integration:

\begin{align*} \int_{-1}^1 (\mathrm{f}(x) - 2) \, \mathrm{d}x =&\, \int_{-1}^1 \mathrm{f}(x) \, \mathrm{d}x - \int_{-1}^1 2 \, \mathrm{d}x \\ =&\, \int_{-1}^1 \mathrm{f}(x) \, \mathrm{d}x - [2x]_{-1}^1 \\ =&\, \int_{-1}^1 \mathrm{f}(x) \, \mathrm{d}x - (2(1) - 2(-1)) \\ =&\, \int_{-1}^1 \mathrm{f}(x) \, \mathrm{d}x - 4. \end{align*}

Using the answer from part (a):

\begin{align*} \int_{-1}^1 (\mathrm{f}(x) - 2) \, \mathrm{d}x \approx&\, 10.52 - 4 \\ =&\, 6.52 \quad \text{(to 2 d.p.)}. \end{align*}

(ii)

Let $u = x - 2$ , then $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ .

When $x = 1$ , $u = 1 - 2 = -1$ .

When $x = 3$ , $u = 3 - 2 = 1$ .

So,

\begin{align*} \int_{1}^{3} \mathrm{f}(x-2) \, \mathrm{d}x =&\, \int_{-1}^1 \mathrm{f}(u) \, \mathrm{d}u. \end{align*}

Since $\int_{-1}^1 \mathrm{f}(u) \, \mathrm{d}u$ is equivalent to $\int_{-1}^1 \mathrm{f}(x) \, \mathrm{d}x$ , we have:

\begin{align*} \int_{1}^{3} \mathrm{f}(x-2) \, \mathrm{d}x \approx&\, 10.52 \quad \text{(to 2 d.p.)}. \end{align*}

P2 2023 Jan Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程