题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions based entirely on calculator technology are not acceptable.

A brick is in the shape of a cuboid with width $x\text{ cm}$ , length $3x\text{ cm}$ and height $h\text{ cm}$ , as shown in Figure 2.

The volume of the brick is $972\text{ cm}^3$ .

(a) Show that the surface area of the brick, $S\text{ cm}^2$ , is given by

S = 6x^2 + \frac{2592}{x}

(3)

(b) Find $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}$ .

(1)

(2)

(d) Find $\frac{\mathrm{d}^2S}{\mathrm{d}x^2}$ and hence show that the value of $x$ found in part (c) gives the minimum value of $S$ .

(2)

(e) Hence find the minimum surface area of the brick.

(1)

题目中文翻译

本题必须展示全部计算步骤。完全依赖计算器技术的解答不予接受。

一块砖呈长方体形，宽为 $x$ 厘米，长为 $3x$ 厘米，高为 $h$ 厘米，如图 2 所示。砖的体积为 972 立方厘米。

(a) 证明砖的表面积 $S$ 平方厘米满足 $S=6x^2+2592/x$ 。（3 分）

(b) 求 $\mathrm{d}S/\mathrm{d}x$ 。（1 分）

(d) 求 $\mathrm{d}^2S/\mathrm{d}x^2$ ，由此证明 (c) 中的 $x$ 使 $S$ 取得最小值。（2 分）

(e) 由此求砖的最小表面积。（1 分）

解答

(a)

解法一

思路

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要推导表面积公式，分两步进行：

1. 体积关系：长方体的体积公式为 $V = \text{width} \times \text{length} \times \text{height}$ 。根据题意，体积为 $972\text{ cm}^3$ ，宽为 $x$ ，长为 $3x$ ，高为 $h$ 。

\begin{align*} V =&\, x \cdot (3x) \cdot h \\ =&\, 3x^2 h \\ =&\, 972 \end{align*}

从而可以得到用 $x$ 表示 $h$ 的表达式： $h = \frac{324}{x^2}$ 。

2. 表面积公式：长方体的表面积包括 6 个面。

\begin{align*} S =&\, 2(x \cdot 3x) + 2(x \cdot h) + 2(3x \cdot h) \\ =&\, 6x^2 + 8xh \end{align*}

将 $h$ 代入即可消去 $h$ ，得到关于 $x$ 的目标表达式。

答题过程

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The volume $V$ of the cuboid is given by:

\begin{align*} V =&\, x \times 3x \times h \\ =&\, 3x^2h. \end{align*}

Since the volume is $972\text{ cm}^3$ , we have:

\begin{align*} 3x^2h =&\, 972 \\ h =&\, \frac{324}{x^2}. \end{align*}

The surface area $S$ of the cuboid is:

\begin{align*} S =&\, 2(x \times 3x) + 2(x \times h) + 2(3x \times h) \\ =&\, 6x^2 + 2xh + 6xh \\ =&\, 6x^2 + 8xh. \end{align*}

Substitute $h = \frac{324}{x^2}$ into the surface area equation:

\begin{align*} S =&\, 6x^2 + 8x\Big(\frac{324}{x^2}\Big) \\ =&\, 6x^2 + \frac{2592}{x}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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对表面积公式进行求导。将分式项写成幂函数的形式再求导：

S = 6x^2 + 2592x^{-1}

使用求导公式 $(x^n)' = n x^{n-1}$ 进行求导即可。

答题过程

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Rewrite $S$ as:

\begin{align*} S =&\, 6x^2 + 2592x^{-1}. \end{align*}

Differentiating with respect to $x$ :

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x} =&\, 12x - 2592x^{-2} \\ =&\, 12x - \frac{2592}{x^2}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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驻点（stationary point）满足一阶导数等于 $0$ 。令 $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x} = 0$ ，解关于 $x$ 的三次方程即可。

答题过程

展开

At the stationary point, $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x} = 0$ :

\begin{align*} 12x - \frac{2592}{x^2} =&\, 0 \\ 12x =&\, \frac{2592}{x^2} \\ 12x^3 =&\, 2592 \\ x^3 =&\, 216 \\ x =&\, 6. \end{align*}

(d)

解法一

思路

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对一阶导数 $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x} = 12x - 2592x^{-2}$ 再次求导，求得二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^2S}{\mathrm{d}x^2}$ 。
将 (c) 小题求得的驻点 $x = 6$ 代入二阶导数，判断其正负。若二阶导数大于 $0$ ，则该点对应的是极小值（minimum）。

答题过程

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Differentiating $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}$ with respect to $x$ :

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2S}{\mathrm{d}x^2} =&\, 12 - 2592(-2)x^{-3} \\ =&\, 12 + \frac{5184}{x^3}. \end{align*}

Substituting $x = 6$ into the second derivative:

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2S}{\mathrm{d}x^2} \Big|_{x=6} =&\, 12 + \frac{5184}{6^3} \\ =&\, 12 + \frac{5184}{216} \\ =&\, 12 + 24 \\ =&\, 36. \end{align*}

Since $\frac{\mathrm{d}^2S}{\mathrm{d}x^2} = 36 > 0$ when $x = 6$ , the value of $x = 6$ gives the minimum value of $S$ .

(e)

解法一

思路

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将 $x = 6$ 代入表面积公式 $S = 6x^2 + \frac{2592}{x}$ 中，计算出具体的最小面积值。

答题过程

展开

Substitute $x = 6$ into the equation for $S$ :

\begin{align*} S_{\min} =&\, 6(6)^2 + \frac{2592}{6} \\ =&\, 6(36) + 432 \\ =&\, 216 + 432 \\ =&\, 648. \end{align*}

Therefore, the minimum surface area of the brick is $648\text{ cm}^2$ .

P2 2023 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程