题目

Problem

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A brick is in the shape of a cuboid with width $x\text{ cm}$ , length $3x\text{ cm}$ and height $h\text{ cm}$ , as shown in Figure 2.

The volume of the brick is $972\text{ cm}^3$ .

(a) Show that the surface area of the brick, $S\text{ cm}^2$ , is given by

S = 6x^2 + \frac{2592}{x}

(3)

(b) Find $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}$ .

(1)

(2)

(d) Find $\frac{\mathrm{d}^2S}{\mathrm{d}x^2}$ and hence show that the value of $x$ found in part (c) gives the minimum value of $S$ .

(2)

(e) Hence find the minimum surface area of the brick.

(1)

解答

(a)

解法一

思路

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要推导表面积公式，分两步进行：

體積關係：長方體的體積公式為 $V = \text{width} \times \text{length} \times \text{height}$ 。根據題意，體積為 $972\text{ cm}^3$ ，寬為 $x$ ，長為 $3x$ ，高為 $h$ 。 $V = x \cdot (3x) \cdot h = 3x^2 h = 972$ 從而可以得到用 $x$ 表示 $h$ 的表達式： $h = \frac{324}{x^2}$ 。
表面積公式：長方體的表面積包括 6 個面。 $S = 2(x \cdot 3x) + 2(x \cdot h) + 2(3x \cdot h) = 6x^2 + 8xh$ 將 $h$ 代入即可消去 $h$ ，得到關於 $x$ 的目標表達式。

答题过程

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The volume $V$ of the cuboid is given by:

\begin{align*} V =&\,\, x \times 3x \times h \\[2mm] =&\,\, 3x^2h. \end{align*}

Since the volume is $972\text{ cm}^3$ , we have:

\begin{align*} 3x^2h =&\,\, 972 \\[2mm] h =&\,\, \frac{324}{x^2}. \end{align*}

The surface area $S$ of the cuboid is:

\begin{align*} S =&\,\, 2(x \times 3x) + 2(x \times h) + 2(3x \times h) \\[2mm] =&\,\, 6x^2 + 2xh + 6xh \\[2mm] =&\,\, 6x^2 + 8xh. \end{align*}

Substitute $h = \frac{324}{x^2}$ into the surface area equation:

\begin{align*} S =&\,\, 6x^2 + 8x\left(\frac{324}{x^2}\right) \\[2mm] =&\,\, 6x^2 + \frac{2592}{x}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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對表面積公式進行求導。將分式項寫成冪函數的形式再求導：

S = 6x^2 + 2592x^{-1}

使用求導公式 $(x^n)' = n x^{n-1}$ 進行求導即可。

答题过程

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Rewrite $S$ as:

\begin{align*} S =&\,\, 6x^2 + 2592x^{-1}. \end{align*}

Differentiating with respect to $x$ :

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x} =&\,\, 12x - 2592x^{-2} \\[3mm] =&\,\, 12x - \frac{2592}{x^2}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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駐點（stationary point）滿足一階導數等於 $0$ 。令 $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x} = 0$ ，解關於 $x$ 的三次方程即可。

答题过程

展开

At the stationary point, $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x} = 0$ :

\begin{align*} 12x - \frac{2592}{x^2} =&\,\, 0 \\[3mm] 12x =&\,\, \frac{2592}{x^2} \\[3mm] 12x^3 =&\,\, 2592 \\[3mm] x^3 =&\,\, 216 \\[2mm] x =&\,\, 6. \end{align*}

(d)

解法一

思路

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對一階導數 $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x} = 12x - 2592x^{-2}$ 再次求導，求得二階導數 $\frac{\mathrm{d}^2S}{\mathrm{d}x^2}$ 。
將 (c) 小題求得的駐點 $x = 6$ 代入二階導數，判斷其正負。若二階導數大於 $0$ ，則該點對應的是極小值（minimum）。

答题过程

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Differentiating $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}$ with respect to $x$ :

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2S}{\mathrm{d}x^2} =&\,\, 12 - 2592(-2)x^{-3} \\[3mm] =&\,\, 12 + \frac{5184}{x^3}. \end{align*}

Substituting $x = 6$ into the second derivative:

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2S}{\mathrm{d}x^2} \Big|_{x=6} =&\,\, 12 + \frac{5184}{6^3} \\[3mm] =&\,\, 12 + \frac{5184}{216} \\[3mm] =&\,\, 12 + 24 \\[2mm] =&\,\, 36. \end{align*}

Since $\frac{\mathrm{d}^2S}{\mathrm{d}x^2} = 36 > 0$ when $x = 6$ , the value of $x = 6$ gives the minimum value of $S$ .

(e)

解法一

思路

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將 $x = 6$ 代入表面積公式 $S = 6x^2 + \frac{2592}{x}$ 中，計算出具體的最小面積值。

答题过程

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Substitute $x = 6$ into the equation for $S$ :

\begin{align*} S_{\min} =&\,\, 6(6)^2 + \frac{2592}{6} \\[3mm] =&\,\, 6(36) + 432 \\[2mm] =&\,\, 216 + 432 \\[2mm] =&\,\, 648. \end{align*}

Therefore, the minimum surface area of the brick is $648\text{ cm}^2$ .

IAL 2023 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程