题目

Problem

\mathrm{f}(x) = \Big( 2 + \frac{kx}{8} \Big)^7

where $k$ is a non-zero constant.

(a) Find the first 4 terms, in ascending powers of $x$ , of the binomial expansion of $\mathrm{f}(x)$ . Give each term in simplest form.

(4)

Given that, in the binomial expansion of $\mathrm{f}(x)$ , the coefficients of $x$ , $x^2$ and $x^3$ are the first 3 terms of an arithmetic progression,

(b) find, using algebra, the possible values of $k$ .

(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)

(3)

题目中文翻译

已知

\mathrm{f}(x)=\Big(2+\frac{kx}{8}\Big)^7,

其中 $k$ 为非零常数。

(a) 求 $\mathrm{f}(x)$ 的二项式展开中按 $x$ 升幂排列的前四项，每项化为最简形式。（4 分）

已知展开式中 $x,x^2,x^3$ 的系数依次为一个等差数列的前三项。

(b) 用代数方法求 $k$ 的所有可能值。完全依赖计算器技术的解答不予接受。（3 分）

解答

(a)

解法一

思路

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使用二项式定理（Binomial Theorem）展开公式：

\begin{align*} (a+b)^n=&\,a^n+\binom n1a^{n-1}b\\ &\,\hspace{2pt}+\binom n2a^{n-2}b^2\\ &\,\hspace{4pt}+\binom n3a^{n-3}b^3+\cdots. \end{align*}

本题中 $a = 2$ ， $b = \frac{kx}{8}$ ， $n = 7$ 。将这些项代入公式并化简前 4 项即可。

答题过程

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Using the binomial expansion formula:

\begin{align*} \mathrm{f}(x) =&\, \Big( 2 + \frac{kx}{8} \Big)^7 \\ =&\, 2^7 + \binom{7}{1} 2^6 \Big( \frac{kx}{8} \Big) \\ &\,\hspace{2pt}+ \binom{7}{2} 2^5 \Big( \frac{kx}{8} \Big)^2 \\ &\,\hspace{4pt}+ \binom{7}{3} 2^4 \Big( \frac{kx}{8} \Big)^3 + \cdots \\ =&\, 128 + 7(64)\Big( \frac{kx}{8} \Big) \\ &\,\hspace{2pt}+ 21(32)\Big( \frac{k^2x^2}{64} \Big) \\ &\,\hspace{4pt}+ 35(16)\Big( \frac{k^3x^3}{512} \Big) + \cdots \\ =&\, 128 + 56kx + \frac{21}{2}k^2x^2 \\ &\,\hspace{2pt}+\frac{35}{32}k^3x^3 + \cdots \end{align*}

Therefore, the first 4 terms of the expansion are:

\begin{align*} 128 + 56kx + \frac{21}{2}k^2x^2 \\ &\,\hspace{2pt}+\frac{35}{32}k^3x^3. \end{align*}

解法二：先提取常数因子

思路

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将 $2+kx/8$ 写成 $2(1+kx/16)$ ，提取 $2^7=128$ ，再使用 $(1+u)^7$ 的前四项。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathrm{f}(x)=&\,128\Big(1+\frac{kx}{16}\Big)^7\\ =&\,128\Big[1+7\Big(\frac{kx}{16}\Big)\\ &\,\hspace{2pt}+21\Big(\frac{kx}{16}\Big)^2\\ &\,\hspace{4pt}+35\Big(\frac{kx}{16}\Big)^3+\cdots\Big]\\ =&\,128+56kx+\frac{21}{2}k^2x^2\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{35}{32}k^3x^3+\cdots. \end{align*}

Hence the first four terms are $128$ , $56kx$ , $\dfrac{21}{2}k^2x^2$ , and $\dfrac{35}{32}k^3x^3$ .

(b)

解法一

思路

展开

1. 提取系数：从 (a) 的展开式中，得到 $x$ 、 $x^2$ 和 $x^3$ 的系数分别为：

a = 56k, \quad b = \frac{21}{2}k^2, \quad c = \frac{35}{32}k^3

2. 等差数列条件：若这三个系数按顺序构成等差数列（arithmetic progression），则满足关系：

2b = a + c

3. 求解 $k$ ：代入系数表达式后，得到一个关于 $k$ 的三次方程。由于 $k \neq 0$ ，可以两边同除以 $k$ ，从而将其化简为一元二次方程，再进行因式分解即可求出 $k$ 的可能值。

答题过程

展开

The coefficients of $x$ , $x^2$ and $x^3$ are $56k$ , $\frac{21}{2}k^2$ and $\frac{35}{32}k^3$ respectively.

Since these coefficients form the first 3 terms of an arithmetic progression, we have:

\begin{align*} 2\Big( \frac{21}{2}k^2 \Big) =&\, 56k + \frac{35}{32}k^3 \\ 21k^2 =&\, 56k + \frac{35}{32}k^3. \end{align*}

Given that $k$ is a non-zero constant ( $k \neq 0$ ), we can divide both sides of the equation by $k$ :

\begin{align*} 21k =&\, 56 + \frac{35}{32}k^2. \end{align*}

Multiply the entire equation by $32$ to clear the fraction:

\begin{align*} 672k =&\, 1792 + 35k^2 \\ 35k^2 - 672k + 1792 =&\, 0. \end{align*}

Divide by $7$ :

\begin{align*} 5k^2 - 96k + 256 =&\, 0 \\ (5k - 16)(k - 16) =&\, 0. \end{align*}

Solving for $k$ :

\begin{align*} k = 16 \quad \text{or} \quad k = \frac{16}{5}. \end{align*}

P2 2023 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二：先提取常数因子

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程