(i) 使用对数运算法则，解方程

（3 分）

(ii) 已知

其中 $y>1$、$a>1$、$y\ne a$。用 $a$ 表示 $y$，答案化为最简形式。（3 分）

1. 同底化简：将常数 $2$ 写成以 $3$ 为底的对数形式：$2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$。

2. 对数相加：利用对数相加公式 $\log_b A + \log_b B = \log_b(AB)$ 合并左边：

3. 去对数求解：令两边真数相等：

解此一元一次方程即可，最后检查解是否满足真数大于 $0$ 的条件。

Using the laws of logarithms:

Since the bases are equal, we can equate the arguments:

Since $x = \frac{7}{31} > 0$, both arguments $4x$ and $5x + 7$ are positive.

Therefore, the solution is:

移项使两个对数在同侧，用商律合并，再转成指数式。求得 $x$ 后仍检查真数为正。

This value makes both logarithm arguments positive, so it is valid.

1. 展开求和式：

• 右边的求和式为：

• 左边的求和式为：

2. 建立二次方程： 令两边相等：

移项化简得：

3. 求解： 因式分解得 $\log_a y(\log_a y - 2) = 0$。 由于已知 $y > 1$ 且 $a > 1$，所以 $\log_a y > 0$，即 $\log_a y \neq 0$。 因此，只能是 $\log_a y = 2$，解得 $y = a^2$。

Expand the summations on both sides of the equation:

And,

Equating the two sides:

Since $y > 1$ and $a > 1$, we have $\log_a y > 0$, which implies $\log_a y \neq 0$.

Therefore,

展开两侧并约去相同项后，得到 $\log_a(y^2)=(\log_a y)^2$。因为 $y>1$、$a>1$，可以除以非零的 $\log_a y$，再用换底公式。

Expanding the given sums and cancelling $\log_a y$ gives

Since $\log_a y>0$, divide both sides by $\log_a y$: