已知 $\mathrm{f}(x)=x^3+(p+3)x^2-x+q$，其中 $p,q$ 为常数，且 $p>0$。

已知 $x-3$ 是 $\mathrm{f}(x)$ 的因式，

(a) 证明 $9p+q=-51$。（2 分）

另知 $\mathrm{f}(x)$ 除以 $x+p$ 的余数为 9，

(b) 证明 $3p^2+p+q-9=0$。（2 分）

(c) 由此求 $p$ 和 $q$ 的值。（3 分）

(d) 由此求二次式 $\mathrm{g}(x)$，使 $\mathrm{f}(x)=(x-3)\mathrm{g}(x)$。（2 分）

根据因式定理（Factor Theorem），如果 $(x - 3)$ 是 $\mathrm{f}(x)$ 的因式，那么 $\mathrm{f}(3) = 0$。 将 $x = 3$ 代入函数表达式，令其等于 $0$，化简即可得到目标关系式。

Since $(x - 3)$ is a factor of $\mathrm{f}(x)$, by the factor theorem, we have $\mathrm{f}(3) = 0$:

Therefore,

把 $\mathrm{f}(x)$ 除以 $x-3$，写出商与余数恒等式。由于 $x-3$ 是因式，余数必须为零。

Algebraic division gives the quotient $x^2+(p+6)x+3p+17$. Expanding to check,

Therefore

The remainder is zero, so

根据余式定理（Remainder Theorem），如果 $\mathrm{f}(x)$ 除以 $(x + p)$ 的余数是 $9$，那么 $\mathrm{f}(-p) = 9$。 将 $x = -p$ 代入函数表达式，令其等于 $9$，进行代数化简即可。

Since $\mathrm{f}(x)$ divided by $(x + p)$ leaves a remainder of $9$, by the remainder theorem, we have $\mathrm{f}(-p) = 9$:

Therefore,

将 $\mathrm{f}(x)$ 除以 $x+p$，得到商 $x^2+3x-1-3p$。用展开验证余数，再令其等于 9。

Expanding the quotient product,

Thus

The remainder is 9, hence

and therefore $3p^2+p+q-9=0$, as required.

1. 消元：由 (a) 小题可得 $q = -51 - 9p$。

2. 代入求解：将其代入 (b) 小题的方程中，得到一个关于 $p$ 的一元二次方程。

3. 求解并筛选：解出 $p$ 的两个值。根据已知条件 $p > 0$，舍去负值，从而确定 $p$。再代入求出 $q$。

From part (a), we can express $q$ in terms of $p$:

Substitute this expression for $q$ into the equation from part (b):

This gives:

Since $p > 0$, we choose:

Substituting $p = 6$ back into the expression for $q$:

Thus, the values are:

将 $p = 6$ 和 $q = -105$ 代入原函数，得到 $\mathrm{f}(x) = x^3 + 9x^2 - x - 105$。 利用多项式除法（polynomial division）或待定系数法将 $\mathrm{f}(x)$ 除以 $(x - 3)$，所得的商式即为二次多项式 $\mathrm{g}(x)$。

Substituting $p = 6$ and $q = -105$ into $\mathrm{f}(x)$:

We divide $\mathrm{f}(x)$ by $(x - 3)$ using algebraic long division or division by inspection:

Comparing this to $\mathrm{f}(x) = (x - 3)\mathrm{g}(x)$, the quadratic expression is: