圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2+8x-4y=0$。

(a) 求 (i) 圆心坐标；(ii) 精确半径。（3 分）

点 $P$ 在圆 $C$ 上。已知圆在 $P$ 处的切线方程为 $x+2y+10=0$。

(b) 求 $P$ 的坐标。（4 分）

(c) 求圆在 $P$ 处的法线方程，写成 $y=mx+c$ 的形式，其中 $m,c$ 为待求的整数。（3 分）

1. 配方法：将圆的方程 $x^2 + y^2 + 8x - 4y = 0$ 整理为标准式 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$。

• 对 $x$ 项配方：$x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$。

• 对 $y$ 项配方：$y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4$。

2. 提取圆心和半径：

• 整理后得：$(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 20$。

• 圆心坐标为 $(-4, 2)$。

• 半径 $r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。

Rearrange the equation of the circle by completing the square for both $x$ and $y$ terms:

也可从一般式 $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ 得到 $r^2=g^2+f^2-c$；这里 $g=4$、$f=-2$、$c=0$，故 $r=\sqrt{20}=2\sqrt5$，与配方结果一致。

Comparing this to the standard circle equation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$:

(i) The coordinates of the centre of $C$ are:

(ii) The exact radius of $C$ is:

1. 联立方程：点 $P$ 是切线 $x + 2y + 10 = 0$ 与圆 $C$ 的交点。

2. 消元：从切线方程中解出 $x = -2y - 10$，然后将其代入圆的方程中，得到一个关于 $y$ 的一元二次方程。

3. 求解：解方程求出唯一的 $y$ 值（因为是切线，所以只会有一个重根），进而求出对应的 $x$ 值，即为 $P$ 点的坐标。

The tangent line equation is:

Since the point $P$ lies on both the circle $C$ and the tangent line, we substitute $x = -2y - 10$ into the circle’s equation:

Divide the entire equation by $5$:

Solving for $y$:

Substitute $y = -2$ back into the expression for $x$:

Therefore, the coordinates of $P$ are:

半径垂直切线，切线斜率为 $-1/2$，故半径斜率为 2。设水平位移的大小为 $u$，竖直位移大小为 $2u$，用勾股定理求 $u$。圆心代入切线左式得正值 10，因此要沿左下方向移动才能到达切线，而不是任意选正负。

Let the centre be $T(-4,2)$. The tangent has gradient $-1/2$, so $TP$ has gradient 2.

Write the horizontal displacement magnitude as $u>0$. The vertical magnitude is $2u$. Since $TP^2=20$,

At $T$, the expression $x+2y+10$ is 10. A displacement $(u,2u)$ increases it, so $P$ must be in the opposite direction $(-u,-2u)$.

Therefore

法线通过圆心，并与切线垂直。先由圆心 $(-4,2)$ 和斜率 2 求法线，再与给出的切线联立；两直线交点就是切点。

The normal has gradient 2 and passes through $(-4,2)$, so

Substituting into the tangent equation,

Thus $P=(-6,-2)$.

对圆方程隐式求导，将切线斜率 $-1/2$ 代入，就得到切点坐标之间的线性关系。与切线方程联立求 $P$。

Differentiating the circle equation implicitly,

At $P$, the tangent gradient is $-1/2$. Therefore

Using $x+2y+10=0$,

Hence $P=(-6,-2)$.

1. 法线斜率：法线垂直于切线。

• 切线方程为 $x + 2y + 10 = 0 \implies y = -\frac{1}{2}x - 5$，其斜率为 $m_t = -\frac{1}{2}$。

• 由于法线垂直于切线，法线的斜率为 $m = -\frac{1}{m_t} = 2$。

2. 求法线方程：法线必过圆心 $(-4, 2)$ 以及切点 $P(-6, -2)$。

• 利用点斜式，代入斜率 $m = 2$ 和点 $(-4, 2)$，即可求得法线方程，并整理成 $y = mx + c$ 的形式。

The equation of the tangent line is:

The gradient of the tangent line is $-\frac{1}{2}$. Since the normal to the circle at $P$ is perpendicular to the tangent line at $P$, the gradient of the normal, $m$, is:

The normal passes through the centre of the circle $(-4, 2)$ and the point $P(-6, -2)$. Using the point-slope form with the centre $(-4, 2)$:

Therefore, the equation of the normal to $C$ at $P$ is: