1. 配方法：將圓的方程 $x^2 + y^2 + 8x - 4y = 0$ 整理為標準式 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$。
   • 對 $x$ 項配方：$x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$。
   • 對 $y$ 項配方：$y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4$。
2. 提取圓心和半徑：
   • 整理後得：$(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 20$。
   • 圓心坐標為 $(-4, 2)$。
   • 半徑 $r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。

Rearrange the equation of the circle by completing the square for both $x$ and $y$ terms:

Comparing this to the standard circle equation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$:

(i) The coordinates of the centre of $C$ are:

(ii) The exact radius of $C$ is:

1. 聯立方程：點 $P$ 是切線 $x + 2y + 10 = 0$ 與圓 $C$ 的交點。
2. 消元：從切線方程中解出 $x = -2y - 10$，然後將其代入圓的方程中，得到一個關於 $y$ 的一元二次方程。
3. 求解：解方程求出唯一的 $y$ 值（因為是切線，所以只會有一個重根），進而求出對應的 $x$ 值，即為 $P$ 點的坐標。

The tangent line equation is:

Since the point $P$ lies on both the circle $C$ and the tangent line, we substitute $x = -2y - 10$ into the circle’s equation:

Divide the entire equation by $5$:

Solving for $y$:

Substitute $y = -2$ back into the expression for $x$:

Therefore, the coordinates of $P$ are:

1. 法線斜率：法線垂直於切線。
   • 切線方程為 $x + 2y + 10 = 0 \implies y = -\frac{1}{2}x - 5$，其斜率為 $m_t = -\frac{1}{2}$。
   • 由於法線垂直於切線，法线的斜率为 $m = -\frac{1}{m_t} = 2$。
2. 求法線方程：法線必過圓心 $(-4, 2)$ 以及切點 $P(-6, -2)$。
   • 利用點斜式，代入斜率 $m = 2$ 和點 $(-4, 2)$，即可求得法線方程，並整理成 $y = mx + c$ 的形式。

The equation of the tangent line is:

The gradient of the tangent line is $-\frac{1}{2}$. Since the normal to the circle at $P$ is perpendicular to the tangent line at $P$, the gradient of the normal, $m$, is:

The normal passes through the centre of the circle $(-4, 2)$ and the point $P(-6, -2)$. Using the point-slope form with the centre $(-4, 2)$:

Therefore, the equation of the normal to $C$ at $P$ is: