一个等比数列的首项为 $a$，公比为 $r$，且 $r>0$。已知第三项为 20，第五项为 12.8。

(a) 证明 $r=0.8$。（1 分）

(b) 由此求 $a$。（2 分）

已知该数列的前 $n$ 项和大于 156，

(c) 求 $n$ 的最小可能值。完全依赖图像或数值方法的解答不予接受。（4 分）

等比数列的第 $n$ 项公式为 $u_n = a r^{n-1}$。

1. 建立方程：

• 第 3 项为 $u_3 = a r^2 = 20$。

• 第 5 项为 $u_5 = a r^4 = 12.8$。

2. 消去首项求公比： 将两式相除以消去 $a$：

由于已知公比 $r > 0$，所以对 $0.64$ 开平方根即可证得 $r = 0.8$。

The $n$-th term of a geometric sequence is given by:

Given the 3rd term is $20$ and the 5th term is $12.8$, we have:

Dividing equation (2) by equation (1) to eliminate $a$:

Since $r > 0$, taking the positive square root:

已知第三项为 20。若公比为 0.8，再乘两次公比即可得到第五项。验证结果为 12.8；公比为正，因此取正根。

For $r=0.8$,

This is the given fifth term. Since $r>0$, $r=0.8$, as required.

利用 (a) 小题求出的 $r = 0.8$ 以及第 3 项的表达式 $a r^2 = 20$，代入求得首项 $a$ 的值。

From part (a), we have $r = 0.8$ and $ar^2 = 20$.

Substituting $r = 0.8$ into the equation:

1. 列出不等式：等比数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$。 将 $a = 31.25, r = 0.8$ 代入公式，并令 $S_n > 156$：

2. 代数化简：

3. 对数求解：两边取自然对数（或常用对数）。注意由于底数 $0.8 < 1$，对数值为负数，两边同除以 $\log 0.8$ 时不等号方向需要翻转：

求出数值界限后，取大于该界限的最小整数即可。

The sum of the first $n$ terms $S_n$ of a geometric progression is:

Substitute $a = 31.25$ and $r = 0.8$ into the inequality $S_n > 156$:

Taking the common logarithm (base 10) of both sides:

Since $\log(0.8) \approx -0.0969 < 0$, dividing by $\log(0.8)$ reverses the inequality sign:

Since $n$ must be an integer, the smallest possible value of $n$ is: