1. 化簡方程： $$5 \sin(3x + 0.1) + 2 = 0 \implies \sin(3x + 0.1) = -0.4$$
2. 換元與確定範圍： 令 $y = 3x + 0.1$。已知 $-\frac{2}{3}\pi < x < \frac{2}{3}\pi$，乘以 3 再加 0.1，得到 $y$ 的取值範圍： $$-2\pi + 0.1 < y < 2\pi + 0.1$$ 即 $-6.183 < y < 6.383$。
3. 求 $y$ 的解：
   • 設 $\sin y = -0.4$，其主值（principal value）為 $\alpha = \arcsin(-0.4) \approx -0.4115$。
   • 在一個週期 $2\pi$ 內，另一解為 $\pi - \alpha = \pi - (-0.4115) \approx 3.5531$。
   • 尋找在範圍 $(-2\pi + 0.1, 2\pi + 0.1)$ 內的所有解：
     • $y_1 = \alpha \approx -0.4115$
     • $y_2 = \pi - \alpha \approx 3.5531$
     • $y_3 = 2\pi + \alpha \approx 5.8717$
     • $y_4 = -\pi - \alpha \approx -2.7301$
4. 求 $x$ 的解： 利用 $x = \frac{y - 0.1}{3}$ 計算對應的 $x$，並保留 2 位小數。

Simplify the equation:

Let $y = 3x + 0.1$. The range of $x$ is $-\frac{2}{3}\pi < x < \frac{2}{3}\pi$, which gives the range of $y$:

Now solve $\sin y = -0.4$. The principal value of $y$ is:

The other solution in the basic interval $[-\pi, \pi]$ is:

Adding/subtracting multiples of $2\pi$ to find all solutions within the range $-2\pi + 0.1 < y < 2\pi + 0.1$:

• For $y = -0.41152$:
  • $y = -0.41152$
  • $y = 2\pi - 0.41152 \approx 5.87167$
• For $y = -2.73007$:
  • $y = -2.73007$
  • $y = 2\pi - 2.73007$ (this is $3.55311$ which is within the range)

So the solutions for $y$ are:

Now calculate the corresponding values of $x$ using $x = \frac{y - 0.1}{3}$:

1. For $y = -2.73007$: $$x = \frac{-2.73007 - 0.1}{3} \approx -0.94336 \approx -0.94$$
2. For $y = -0.41152$: $$x = \frac{-0.41152 - 0.1}{3} \approx -0.17051 \approx -0.17$$
3. For $y = 3.55311$: $$x = \frac{3.55311 - 0.1}{3} \approx 1.15104 \approx 1.15$$
4. For $y = 5.87167$: $$x = \frac{5.87167 - 0.1}{3} \approx 1.92389 \approx 1.92$$

Therefore, the solutions are:

1. 替換切切：利用關係式 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$。 $$2 \left( \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \right) \sin\theta = 5 + \cos\theta \implies \frac{2\sin^2\theta}{\cos\theta} = 5 + \cos\theta$$
2. 去分母與統一三角函數： 方程兩邊同乘以 $\cos\theta$（需注意 $\cos\theta \neq 0$）： $$2 \sin^2\theta = 5 \cos\theta + \cos^2\theta$$ 利用 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ 將正弦轉換為餘弦： $$2(1 - \cos^2\theta) = 5 \cos\theta + \cos^2\theta \implies 3\cos^2\theta + 5\cos\theta - 2 = 0$$
3. 因式分解求解： 將二次三項式因式分解為 $(3\cos\theta - 1)(\cos\theta + 2) = 0$。 由於餘弦值的範圍為 $[-1, 1]$，所以 $\cos\theta = -2$ 無解。 故 $\cos\theta = \frac{1}{3}$。
4. 求 $\theta$ 的解： 在範圍 $0 < \theta < 360^{\circ}$ 內，餘弦值為正，有兩個解：第一象限角和第四象限角。

Using $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$:

Multiply by $\cos\theta$:

Use the identity $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$:

Since $-1 \le \cos\theta \le 1$, $\cos\theta = -2$ has no real solutions.

Thus, we have:

For $0 < \theta < 360^{\circ}$:

and the other solution is:

Therefore, the solutions are: