本题必须展示全部计算步骤。完全依赖计算器技术的解答不予接受。

图 3 显示曲线 $C:y=x^2-4x+5$ 和直线 $l:y=2$。曲线 $C$ 与 $y$ 轴交于点 $D$。

(a) 写出 $D$ 的坐标。（1 分）

曲线与直线相交于图 3 中的 $E,F$。

(b) 求 $E,F$ 各自的 $x$ 坐标。（2 分）

图 3 的阴影包括区域 $R_1$ 和 $R_2$。$R_1$ 由 $C,l,y$ 轴围成；$R_2$ 由 $C$ 及线段 $EF,DF$ 围成。

已知 $R_1$ 的面积除以 $R_2$ 的面积为常数 $k$，

(c) 使用代数积分求 $k$ 的精确值，答案写成最简分数。（5 分）

曲线 $C$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$，即该点的 $x$ 坐标为 $0$。 将 $x = 0$ 代入曲线方程 $y = x^2 - 4x + 5$，即可求出 $D$ 的 $y$ 坐标，写出坐标形式即可。

The curve $C$ intersects the $y$-axis at point $D$. Substituting $x = 0$ into the equation of $C$:

Therefore, the coordinates of $D$ are:

点 $E$ 和 $F$ 是曲线 $C$ 与直线 $l: y = 2$ 的交点。 联立方程，令 $x^2 - 4x + 5 = 2$，得到一个一元二次方程，因式分解解出两个根。 根据图中位置，较小的根为 $E$ 的 $x$ 坐标，较大的根为 $F$ 的 $x$ 坐标。

Set the equation of curve $C$ equal to the equation of line $l$:

Solving for $x$ gives $x = 1$ or $x = 3$.

Since $E$ lies to the left of $F$:

• The $x$ coordinate of $E$ is $1$.

• The $x$ coordinate of $F$ is $3$.

本题需要分别求出区域 $R_1$ 和 $R_2$ 的面积：

1. 计算 $\text{Area}(R_1)$： 区域 $R_1$ 在 $x \in [0, 1]$ 区间内，由曲线 $C$（上方）和直线 $y=2$（下方）围成。

2. 计算 $\text{Area}(R_2)$：

• 方法一：割补法。区域 $R_2$ 可以看作是直线段 $DF$ 下方的梯形面积，减去其分段下边界以下的面积。

• 直线段 $DF$ 连接 $D(0, 5)$ 和 $F(3, 2)$。其下方的投影是一个直角梯形，上底为 $5$，下底为 $2$，高为 $3$。

• 分段下边界以下的面积（从 $x=0$ 到 $x=3$）可以分为两部分：

• 在 $x \in [0, 1]$ 上，是曲线 $C$ 下方的面积：$\int_0^1 (x^2 - 4x + 5) \, \mathrm{d}x$。

• 在 $x \in [1, 3]$ 上，是直线 $y = 2$ 下方的矩形面积：$2 \times 2 = 4$。

• 故分段下边界以下的总面积为：

• 区域 $R_2$ 的面积为：

3. 计算比值 $k$：

Step 1: Find the Area of $R_1$

The region $R_1$ is bounded above by the curve $C$ and below by the line $y = 2$ from $x = 0$ to $x = 1$.

Step 2: Find the Area of $R_2$

First, find the equation of the line segment $DF$ connecting $D(0, 5)$ and $F(3, 2)$.

The gradient of $DF$ is:

Since the $y$-intercept is $5$, the equation of the line $DF$ is:

The region $R_2$ is bounded above by the line segment $DF$ and below by:

• The curve $C$ from $x = 0$ to $x = 1$.

• The line $y = 2$ from $x = 1$ to $x = 3$.

We can calculate the area of $R_2$ by subtracting the area under the bottom boundary from the area of the trapezium under the line segment $DF$ (from $x = 0$ to $x = 3$).

• Area of the trapezium under $DF$:

• Area under the bottom boundary: For $x \in [0, 1]$, the area under the curve $C$ is:

For $x \in [1, 3]$, the area under the line $y = 2$ is a rectangle of width $2$ and height $2$:

也可由曲线积分减矩形求 $R_1$：$A_1=10/3-2\times1=4/3$。但 $R_2$ 的下边界在 $x=1$ 后是直线，不是曲线。

So, the total area under the bottom boundary is:

• Area of $R_2$:

Step 3: Calculate the value of $k$

Therefore, the exact value of $k$ is $\frac{8}{19}$.

由前两小题，$D=(0,5)$、$F=(3,2)$。水平线 $y=2$ 与 $y$ 轴交于 $G=(0,2)$。三角形 $DGF$ 恰好由 $R_1$ 与 $R_2$ 组成，所以求出 $R_1$ 后作差即可。

As in method 1, algebraic integration gives

Let $G=(0,2)$. Then $DG=3$ and $GF=3$, and $DGF$ consists of $R_1$ and $R_2$. Hence

直线 $DF$ 为 $y=5-x$。$R_2$ 的上边界始终是 $DF$，但下边界在 $x=1$ 处变化：$0\leqslant x\leqslant1$ 为曲线，$1\leqslant x\leqslant3$ 为水平线 $y=2$。分段求面积，后一段也可直接看成面积为 2 的三角形。

The gradient of $DF$ is $(2-5)/(3-0)=-1$, so $DF$ has equation $y=5-x$.

As in method 1,

The area of $R_2$ is

Therefore $k=(4/3)/(19/6)=8/19$.

先求 $DF$ 与曲线之间从 0 到 3 的整块面积；其中 $1<x<3$、曲线低于 $y=2$ 的一块不属于 $R_2$，必须扣除。注意这一块虽然也等于 $4/3$，却不是左侧的 $R_1$，不能混淆边界。

The line $DF$ has equation $y=5-x$. Its area above the curve for $0\leqslant x\leqslant3$ is

The extra area below $y=2$ for $1\leqslant x\leqslant3$ is

Using $A_1=4/3$ from method 1,