题目

Problem

The continuous curve $C$ has equation $y = f(x)$ .

A table of values of $x$ and $y$ for $y = f(x)$ is shown below.

$x$	$4.0$	$4.2$	$4.4$	$4.6$	$4.8$	$5.0$
$y$	$9.2$	$8.4556$	$3.8512$	$5.0342$	$7.8297$	$8.6$

Use the trapezium rule with all the values of $y$ in the table to find an approximation for

$\int_4^5 f(x)\,\mathrm{d}x$

giving your answer to 3 decimal places.

(3)

题目中文翻译

连续曲线 $C$ 的方程为 $y = f(x)$ 。

下表给出了 $y = f(x)$ 的 $x$ 和 $y$ 值。

$x$	$4.0$	$4.2$	$4.4$	$4.6$	$4.8$	$5.0$
$y$	$9.2$	$8.4556$	$3.8512$	$5.0342$	$7.8297$	$8.6$

用梯形法则，使用表中所有 $y$ 值，求 $\displaystyle\int_4^5 f(x)\,\mathrm{d}x$ 的近似值，答案保留3位小数。

（3分）

解答

梯形法则公式： $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \dfrac{h}{2}\big[y_0 + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1}) + y_n\big]$ ，其中 $h$ 是步长， $n$ 是区间数。

From the table, the step size is $h = 0.2$ and $n = 6$ intervals.

\int_4^5 f(x)\,\mathrm{d}x \approx&\, \frac{0.2}{2}\Big[y_0 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5) + y_6\Big] \\[4mm] =&\, 0.1\Big[9.2 + 2(8.4556 + 3.8512 + 5.0342 + 7.8297) + 8.6\Big] \\[4mm] =&\, 0.1\Big[9.2 + 2(25.1707) + 8.6\Big] \\[4mm] =&\, 0.1\Big[9.2 + 50.3414 + 8.6\Big] \\[4mm] =&\, 0.1 \times 68.1414 \\[4mm] =&\, 6.452 \end{align*}$$ $$\boxed{6.452}$$