题目

Problem

The continuous curve $C$ has equation $y = f(x)$ .

A table of values of $x$ and $y$ for $y = f(x)$ is shown below.

$x$	$4.0$	$4.2$	$4.4$	$4.6$	$4.8$	$5.0$
$y$	$9.2$	$8.4556$	$3.8512$	$5.0342$	$7.8297$	$8.6$

Use the trapezium rule with all the values of $y$ in the table to find an approximation for

\int_4^5 f(x)\,\mathrm{d}x

giving your answer to 3 decimal places.

(3)

题目中文翻译

连续曲线 $C$ 的方程为 $y = f(x)$ 。

下表给出了 $y = f(x)$ 的 $x$ 和 $y$ 值。

$x$	$4.0$	$4.2$	$4.4$	$4.6$	$4.8$	$5.0$
$y$	$9.2$	$8.4556$	$3.8512$	$5.0342$	$7.8297$	$8.6$

用梯形法则，使用表中所有 $y$ 值，求 $\displaystyle\int_4^5 f(x)\,\mathrm{d}x$ 的近似值，答案保留3位小数。

（3分）

解答

展开

表中有六个纵坐标，对应五个区间；步长为 $h=(5-4)/5=0.2$ 。梯形法则将首末纵坐标各计一次，四个内点各计两次。计算结果最后才保留三位小数。

展开

There are six ordinates and five intervals, so

h=\frac{5-4}{5}=0.2.

Using all six ordinates,

\begin{align*} \int_4^5 f(x)\,\mathrm{d}x \approx&\,\frac h2\big[y_0+y_5\\ &\,\hspace{2pt}+2(y_1+y_2+y_3+y_4)\big]\\ =&\,0.1\big[9.2+8.6\\ &\,\hspace{2pt}+2(8.4556+3.8512\\ &\,\hspace{4pt}+5.0342+7.8297)\big]\\ =&\,0.1\big[17.8+2(25.1707)\big]\\ =&\,0.1(68.1414)\\ =&\,6.81414. \end{align*}

Therefore the approximation, to 3 decimal places, is

\boxed{6.814}.

也可以分别求五个小梯形的面积后相加：

\begin{align*} I\approx&\,0.1\big[(9.2+8.4556)\\ &\,\hspace{2pt}+(8.4556+3.8512)\\ &\,\hspace{4pt}+(3.8512+5.0342)\\ &\,\hspace{6pt}+(5.0342+7.8297)\\ &\,\hspace{8pt}+(7.8297+8.6)\big]\\ =&\,6.81414. \end{align*}