曲线 $C$ 的方程为 $y=(x-k)^2/\sqrt{x}$，$x>0$，其中 $k$ 为正常数。

(a) 证明

其中 $a,b$ 为待求的整数。（5 分）

图 1 为曲线 $C$ 和直线 $l$ 的示意图。已知 $l$ 与 $C$ 交于 $A(1,9)$ 和 $B(16,q)$，其中 $q$ 为常数。

(b) 证明 $k=4$。（2 分）

图 1 中的阴影区域 $R$ 由曲线 $C$ 和直线 $l$ 围成。使用 (a)、(b) 的答案，

(c) 求 $R$ 的面积。（3 分）

展开分子，分别除以 $\sqrt{x}$，转成幂函数后逐项积分。完整代入上限 16 与下限 1，再按 $k$ 的幂次合并。

Let $I$ denote the required integral. Using the power rule,

At $x=16$, the powers $x^{1/2},x^{3/2},x^{5/2}$ are $4,64,1024$ respectively. At $x=1$, all three powers are 1. Therefore

So $a = 6$ and $b = -84$.

点 $A(1,9)$ 在曲线上，代入求 $k$；按 $k>0$ 排除负值。

Since $A(1, 9)$ lies on $C$:

Since $k$ is a positive constant:

承接 (a)(b)，将 $k=4$ 代入积分，并求 $B$ 的纵坐标。区域面积是直线下方面积减曲线下方面积。

With $k = 4$, the integral from part (a) gives:

At $B(16, q)$: $q = \dfrac{(16-4)^2}{\sqrt{16}} = \dfrac{144}{4} = 36$.

Line $l$ through $A(1, 9)$ and $B(16, 36)$:

Writing the line as $y=(9/5)x+c$ and using $A(1,9)$,

Hence $l$ has equation $y=(9/5)x+36/5$.

Area of region $R$:

(c) 的另一种方法：直线 $l$ 下方的面积可以用梯形公式直接计算（不需要积分），再减去 (a) 中曲线下的积分结果。

With $k = 4$, the area under curve $C$ from part (a) is $169.2$.

At $B(16, q)$: $q = \dfrac{(16-4)^2}{\sqrt{16}} = 36$.

The line $l$ passes through $A(1, 9)$ and $B(16, 36)$. The area under $l$ from $x = 1$ to $x = 16$ is a trapezium with parallel sides $9$ and $36$, and height $15$:

Area of region $R$:

梯形也可拆成矩形与三角形：矩形面积为 $15\times9=135$，三角形面积为 $\frac12\times15\times(36-9)=202.5$，合计仍为 337.5。