题目

Problem

A sequence $u_1, u_2, u_3, \ldots$ is defined by

u_{n+1} = b - au_n

u_1 = 3

where $a$ and $b$ are constants.

(a) Find, in terms of $a$ and $b$ ,

(i) $u_2$ (ii) $u_3$

(2)

Given that $\displaystyle\sum_{n=1}^{3} u_n = 153$ and $b = a + 9$ ,

(b) show that $a^2 - 5a - 66 = 0$

(3)

题目中文翻译

数列 $u_1,u_2,u_3,\ldots$ 定义为 $u_{n+1}=b-au_n$ ， $u_1=3$ ，其中 $a,b$ 为常数。

(a) 用 $a,b$ 表示 (i) $u_2$ ；(ii) $u_3$ 。（2 分）

已知 $\sum_{n=1}^3u_n=153$ 且 $b=a+9$ ，

(b) 证明 $a^2-5a-66=0$ 。（3 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

从 $u_1=3$ 出发，连续两次代入递推关系，求出 $u_2,u_3$ 。

答题过程

展开

(i)

\begin{align*} u_2 =&\, b - au_1 \\ =&\, \boxed{b - 3a} \end{align*}

(ii)

\begin{align*} u_3 =&\, b - au_2 \\ =&\, b - a(b - 3a) \\ =&\, b - ab + 3a^2 \end{align*}

\boxed{u_3 = b - ab + 3a^2}

(b)

解法一

思路

展开

将前三项相加并使用 $b=a+9$ 消去 $b$ ，展开、合并同类项，推出给定的二次方程。

答题过程

展开

\begin{align*} u_1 + u_2 + u_3 =&\, 153 \\ 3 + (b - 3a) + (b - ab + 3a^2) =&\, 153 \\ 3 + 2b - 3a - ab + 3a^2 =&\, 153 \end{align*}

Substituting $b = a + 9$ :

\begin{align*} 3 + 2(a + 9) - 3a - a(a + 9) + 3a^2 =&\, 153 \\ 3 + 2a + 18 - 3a - a^2 - 9a + 3a^2 =&\, 153 \\ 2a^2 - 10a + 21 =&\, 153 \\ 2a^2 - 10a - 132 =&\, 0 \\ a^2 - 5a - 66 =&\, 0 \end{align*}

\boxed{a^2 - 5a - 66 = 0}

(c)

解法一

思路

展开

承接 (b) 求 $a$ 的两个值，分别代入 $b=a+9$ 及 $u_2=b-3a$ ，比较两个可能值。

答题过程

展开

Solving $(a - 11)(a + 6) = 0$ :

a = 11 \quad \text{or} \quad a = -6

Since $b = a + 9$ :

If $a = 11$ : $b = 20$ , $u_2 = 20 - 3(11) = -13$
If $a = -6$ : $b = 3$ , $u_2 = 3 - 3(-6) = 21$

The larger value of $u_2$ is:

\boxed{u_2 = 21}

直接代入 $b=a+9$ 可得 $u_2=9-2a$ ；所以两个可能的 $a$ 中，较小的 $a=-6$ 给出较大的 $u_2=21$ ，与逐一计算一致。

P2 2023 May Q11

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程