本题必须展示全部计算步骤。不接受依赖计算器技术的解答。

已知 $f(x)=4x^3-8x^2+5x+a$，其中 $a$ 是常数。已知 $2x-3$ 是 $f(x)$ 的因式，

(a) 使用因式定理证明 $a=-3$。（2 分）

(b) 由此证明方程 $f(x)=0$ 只有一个实根。（4 分）

因式定理给出 $f(3/2)=0$。将 $x=3/2$ 代入并展示中间运算，得到 $a=-3$。

Since $(2x - 3)$ is a factor of $f(x)$, by the factor theorem $f\!\Big(\dfrac{3}{2}\Big) = 0$.

Setting $3 + a = 0$:

承接 (a)，将三次式除以 $2x-3$ 得二次因式。判别式为负，说明二次因式没有实根，故唯一实根来自线性因式。

With $a = -3$, $f(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 3$.

Since $(2x - 3)$ is a factor, dividing $f(x)$ by $(2x - 3)$:

For the quadratic $2x^2 - x + 1$, the discriminant is:

Since $\Delta < 0$, the quadratic $2x^2 - x + 1 = 0$ has no real roots.

Therefore $f(x) = 0$ has only one real root, $x = \dfrac{3}{2}$. $\quad\blacksquare$

(b) 的另一种证法：配方法。将 $2x^2 - x + 1$ 配成完全平方加正常数的形式，说明它恒正，从而无实根。

With $a = -3$, $f(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 3 = (2x - 3)(2x^2 - x + 1)$.

Complete the square for $2x^2 - x + 1$:

Since $2\Big(x - \dfrac{1}{4}\Big)^2 \geqslant 0$ for all $x$, we have $2x^2 - x + 1 \geqslant \dfrac{7}{8} > 0$.

Therefore $2x^2 - x + 1 = 0$ has no real roots, and $f(x) = 0$ has only one real root. $\quad\blacksquare$