题目

Problem

The binomial expansion, in ascending powers of $x$ , of $(3 + px)^5$

where $p$ is a constant, can be written in the form

A + Bx + Cx^2 + Dx^3 + \cdots

where $A$ , $B$ , $C$ and $D$ are constants.

(a) Find the value of $A$

(1)

Given that $B = 18D$ and $p < 0$ ,

(b) find (i) the value of $p$ (ii) the value of $C$

(6)

题目中文翻译

$(3+px)^5$ 按 $x$ 升幂排列的二项式展开可写成 $A+Bx+Cx^2+Dx^3+\cdots$ ，其中 $p$ 是常数， $A,B,C,D$ 也是常数。

(a) 求 $A$ 。（1 分）

已知 $B=18D$ 且 $p<0$ ，

(b) 求 (i) $p$ ；(ii) $C$ 。（6 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

二项展开的常数项来自 $3^5$ 。

答题过程

展开

The constant term is:

\begin{align*} A =&\, 3^5 \\ =&\, \boxed{243} \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

求出 $x$ 与 $x^3$ 的系数，使用 $B=18D$ 求 $p$ ；因为 $p<0$ ，可以除以非零的 $p$ 并选择负根。再代入 $x^2$ 系数求 $C$ 。

答题过程

展开

(i)

The binomial expansion of $(3 + px)^5$ :

(3 + px)^5 = \sum_{r=0}^{5} \binom{5}{r} 3^{5-r}(px)^r

Coefficient of $x$ :

\begin{align*} B =&\, \binom{5}{1} \cdot 3^4 \cdot p \\ =&\, 5 \times 81 \times p \\ =&\, 405p \end{align*}

Coefficient of $x^3$ :

\begin{align*} D =&\, \binom{5}{3} \cdot 3^2 \cdot p^3 \\ =&\, 10 \times 9 \times p^3 \\ =&\, 90p^3 \end{align*}

Given $B = 18D$ :

\begin{align*} 405p =&\, 18 \times 90p^3 \\ 405p =&\, 1620p^3 \\ 405p - 1620p^3 =&\, 0 \\ 405p(1 - 4p^2) =&\, 0 \end{align*}

Since $p \neq 0$ :

\begin{align*} 1 - 4p^2 =&\, 0 \\ p^2 =&\, \frac{1}{4} \\ p =&\, \pm\frac{1}{2} \end{align*}

Given $p < 0$ :

\boxed{p = -\frac{1}{2}}

(ii)

Coefficient of $x^2$ :

\begin{align*} C =&\, \binom{5}{2} \cdot 3^3 \cdot p^2 \\ =&\, 10 \times 27 \times p^2 \\ =&\, 270p^2 \end{align*}

\begin{align*} C =&\, 270 \times \Big(-\frac{1}{2}\Big)^2 \\ =&\, 270 \times \frac{1}{4} \\ =&\, \boxed{67.5} \end{align*}

解法二：先提取 243

思路

展开

先写成 $243(1+px/3)^5$ 。 $B$ 与 $D$ 的共同因子 243 在 $B=18D$ 中约掉，可先用括号内的系数求 $p$ ，再恢复原展开式的 $x^2$ 系数。

答题过程

展开

(i)

\begin{align*} (3+px)^5=&\,243\Big(1+\frac{px}{3}\Big)^5\\ =&\,243\Big[1+5\Big(\frac{px}{3}\Big)\\ &\,\hspace{2pt}+10\Big(\frac{px}{3}\Big)^2\\ &\,\hspace{4pt}+10\Big(\frac{px}{3}\Big)^3+\cdots\Big]. \end{align*}

Since $B=18D$ , cancelling the common factor 243 gives

\begin{align*} 5\Big(\frac p3\Big)=&\,18(10)\Big(\frac p3\Big)^3\\ 45p=&\,180p^3\\ p^2=&\,\frac14. \end{align*}

Here $p<0$ , so $p\ne0$ and division by $p$ is valid. Therefore $p=-1/2$ .

(ii) Restoring the factor 243, the coefficient of $x^2$ is

\begin{align*} C=&\,243(10)\Big(\frac p3\Big)^2\\ =&\,270p^2=\frac{135}{2}=67.5. \end{align*}

P2 2023 May Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二：先提取 243

思路

答题过程