题目

Problem

Use the laws of logarithms to solve

\log_2(16x) + \log_2(x + 1) = 3 + \log_2(x + 6)

(5)

题目中文翻译

用对数运算法则解方程 $\log_2(16x)+\log_2(x+1)=3+\log_2(x+6)$ 。

（5分）

解答

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合并左边对数： $\log_2(16x(x+1))$ 。右边 $3=\log_2 8$ ，移项合并。去掉对数得二次方程，检验定义域 $x>0$ 。

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\begin{align*} \log_2(16x) + \log_2(x+1) =&\, 3 + \log_2(x+6) \\ \log_2\big[16x(x+1)\big] =&\, \log_2 8 + \log_2(x+6) \\ \log_2\big[16x(x+1)\big] =&\, \log_2\big[8(x+6)\big] \end{align*}

Since the logarithms are equal:

\begin{align*} 16x(x+1) =&\, 8(x+6) \\ 16x^2 + 16x =&\, 8x + 48 \\ 16x^2 + 8x - 48 =&\, 0 \\ 2x^2 + x - 6 =&\, 0 \\ (2x - 3)(x + 2) =&\, 0 \end{align*}

x = \frac{3}{2} \quad \text{or} \quad x = -2

Check domain: $x > 0$ , $x + 1 > 0$ , $x + 6 > 0$ , so $x > 0$ .

$x = -2$ is rejected since $-2 < 0$ .

\boxed{x = \frac{3}{2}}

也可先移项合并成一个对数：

\begin{align*} \log_2\Big(\frac{16x(x+1)}{x+6}\Big)=&\,3\\ \frac{16x(x+1)}{x+6}=&\,8. \end{align*}

在原对数的定义域 $x>0$ 内， $x+6>0$ ；乘去分母后得到相同二次方程与唯一有效解 $x=3/2$ 。