题目

Problem

Given that $a$ , $b$ and $c$ are integers greater than 0 such that

prove, by exhaustion, that the product $abc$ is always a multiple of 4.

You may use the table below to illustrate your answer.

$a$	$b$	$c$	$abc$

(3)

题目中文翻译

已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正整数，且满足：

用穷举法证明 $abc$ 一定是4的倍数。

可以使用下表来说明你的答案。

（3分）

解答

穷举证明题。由 $c = 3a + 1$ 代入 $a + b + c = 15$ ，得到 $b = 14 - 4a$ 。因为 $a, b, c$ 都是正整数， $a$ 只能取 $1, 2, 3$ ，逐一验证即可。

Given $c = 3a + 1$ , substitute into $a + b + c = 15$ :

a + b + (3a + 1) =&\, 15 \\ 4a + b + 1 =&\, 15 \\ b =&\, 14 - 4a \end{align*}$$ Since $a, b, c$ are positive integers: - $a \geqslant 1$ - $b = 14 - 4a \geqslant 1 \Rightarrow a \leqslant 3$ Therefore $a$ can only take the values $1, 2, 3$. Check each case: | $a$ | $b = 14 - 4a$ | $c = 3a + 1$ | $abc$ | |-----|---------------|--------------|-------| | 1 | 10 | 4 | 40 | | 2 | 6 | 7 | 84 | | 3 | 2 | 10 | 60 | $$\begin{align*} 40 =&\, 4 \times 10 \\ 84 =&\, 4 \times 21 \\ 60 =&\, 4 \times 15 \end{align*}$$ All values of $abc$ are multiples of 4. $\quad \blacksquare$