题目

Problem

A sequence $u_1, u_2, u_3, \ldots$ is defined by

u_1 = 3

u_{n+1} = 2 - \frac{4}{u_n}

(a) Find the value of $u_2$ , the value of $u_3$ and the value of $u_4$ .

(3)

(b) Find the value of $\displaystyle\sum_{r=1}^{100} u_r$ .

(2)

题目中文翻译

数列 $u_1, u_2, u_3, \ldots$ 定义如下：

$u_1 = 3$ ， $u_{n+1} = 2 - \dfrac{4}{u_n}$

(a) 求 $u_2$ 、 $u_3$ 和 $u_4$ 的值。

（3分）

(b) 求 $\displaystyle\sum_{r=1}^{100} u_r$ 的值。

（2分）

解答

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把上一项逐次代入递推式，求出第二、第三、第四项。

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Using $u_1=3$ and $u_{n+1}=2-\dfrac4{u_n}$ :

\begin{align*} u_2 =&\,2-\frac43=\frac23,\\ u_3 =&\,2-\frac4{2/3}=2-6=-4,\\ u_4 =&\,2-\frac4{-4}=2+1=3. \end{align*}

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第四项回到第一项，之后按相同递推规则重复。把前 100 项分成 33 个完整周期与一项。

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Since $u_4 = u_1 = 3$ , the sequence is periodic with period 3.

The sum of one complete period is:

\begin{align*} u_1 + u_2 + u_3 =&\, 3 + \frac{2}{3} + (-4) = -\frac{1}{3} \end{align*}

100 terms contain 33 complete periods and 1 remaining term:

\begin{align*} \sum_{r=1}^{100} u_r =&\, 33 \times \big(-\frac{1}{3}\big) + u_{100} \\ =&\, -11 + u_1 \\ =&\, -11 + 3 \\ =&\, -8 \end{align*}

另一种分组方式是先取 34 个周期，再删去末两项。因为 $u_{101}=\dfrac23$ 、 $u_{102}=-4$ ，

\begin{align*} \sum_{r=1}^{100}u_r =&\,34\bigg(-\frac13\bigg)-\frac23-(-4)\\ =&\,-8. \end{align*}