本题必须展示所有解题步骤，不能依赖计算器技术。

$f(x) = 4x^3 + ax^2 - 29x + b$，其中 $a$、$b$ 为常数。

已知 $(2x + 1)$ 是 $f(x)$ 的因式，

(a) 证明 $a + 4b = -56$。

（2分）

又已知 $f(x)$ 除以 $(x - 2)$ 的余数为 $-25$，

(b) 求另一个关于 $a$ 和 $b$ 的简化方程。

（2分）

(c) 由此，用代数方法并展示解题过程，

(i) 求 $a$ 和 $b$ 的值，

(ii) 完全因式分解 $f(x)$。

（5分）

因式 $(2x+1)$ 对应根 $-\dfrac12$。代入因式定理，再整理为题目要求的关系式。

Since $(2x+1)$ is a factor, $f(-1/2)=0$.

Multiplying by 4:

把已知因式与二次商相乘，比较各次项系数。先由首项、常数项、一次项确定商，再用二次项得到关系式。

Write

Comparing the coefficients of $x^3$, the constant term and $x$ gives

Thus $A=2$ and $B=-29-2b$. Comparing the coefficient of $x^2$:

Hence

由余式定理，$f(2)$ 等于题给余数 −25。

By the remainder theorem, $f(2)=-25$:

直接做多项式长除法。依次减去三个商项对应的乘积，留下余数，再令其等于 −25。

Divide by $x-2$. First subtract $4x^2(x-2)$:

Next subtract $(a+8)x(x-2)$:

Finally subtract $(2a-13)(x-2)$:

This is the remainder, so

利用 (a)(b) 的两个关系式，消去 $b$ 后求 $a$，再代回。

From (b), $b=1-4a$. Substitute into (a):

Then $b=1-4(4)=-15$, giving

由此代入系数，并除以题给因式 $2x+1$。补齐二次商的三步计算，再分解二次式。

Hence $f(x)=4x^3+4x^2-29x-15$. Divide by the known factor $2x+1$.

Subtract the first quotient term, $2x^2$:

Subtract the next quotient term, $x$:

The final quotient term is $-15$, since $-15(2x+1)=-30x-15$. Thus the quotient is $2x^2+x-15$.

Now factorise it:

Therefore