图2显示了以下图形的草图：

• 圆 $C$，圆心为 $X(4, -3)$
• 直线 $l$，方程为 $y = \dfrac{5}{2}x - \dfrac{55}{2}$

已知 $l$ 是 $C$ 在点 $N$ 处的切线，

(a) 证明过 $X$ 和 $N$ 的直线方程为 $2x + 5y + 7 = 0$。

（3分）

(b) 由此求

(i) $N$ 的坐标，

(ii) $C$ 的方程。

（5分）

切线与半径垂直。由切线斜率 $\dfrac{5}{2}$ 得到半径斜率 $-\dfrac{2}{5}$，再用圆心坐标写点斜式。

The gradient of $l$ is $\dfrac{5}{2}$. Since the radius $XN$ is perpendicular to the tangent at $N$, its gradient is $-\dfrac{2}{5}$.

Using $X(4,-3)$:

Hence an equation of $XN$ is

利用 (a)，联立半径直线与题给切线，求它们的交点 $N$。

From part (a), solve $2x+5y+7=0$ with $y=\dfrac{5}{2}x-\dfrac{55}{2}$:

Then

Therefore

用圆心 $X$ 与圆上点 $N$ 求半径平方，代入圆的标准方程。

The centre is $X(4,-3)$ and $N=(9,-5)$ lies on the circle. Hence

Therefore

也可从圆的一般方程入手：圆心先确定一次项系数，再代入圆上点 $N$ 求常数项。

Write the circle as

Its centre is $\big(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\big)=(4,-3)$, so $D=-8$ and $E=6$.

Substituting $N=(9,-5)$:

Thus

Completing the squares gives the equivalent form