$f(x)=ax^3+3x^2-8x+2$，其中 $a$ 为常数。

已知 $f(x)$ 除以 $(x-2)$ 的余数为 $3$，求 $a$ 的值。

（3分）

除以 $x-2$ 的余数就是 $f(2)$。题目说余数是 $3$，所以直接令 $f(2)=3$。

By the remainder theorem,

Therefore,

也可以把余数条件改写成：$f(x)-3$ 被 $x-2$ 整除。这样 $x=2$ 是 $f(x)-3$ 的根，代入后同样得到 $a$。

Since the remainder is $3$, the expression $f(x)-3$ is divisible by $(x-2)$.

So $x=2$ is a root of $f(x)-3$:

通过待定系数法（inspection）。如果 $f(x)-3$ 能被 $x-2$ 整除，可设商式为二次多项式 $ax^2+px+q$。对比常数项可以快速求出 $q$，再通过一次项与二次项系数求出 $a$。

Since $f(x)-3$ is divisible by $(x-2)$, we can write:

Substitute $f(x) = ax^3+3x^2-8x+2$:

Comparing the constant terms on both sides:

Comparing the coefficients of $x^2$:

Comparing the coefficients of $x$:

Therefore, the value of $a$ is $\frac{5}{8}$.

直接长除以 $x-2$，依次求出三个商项，最后把余数设为 3。

Subtract $ax^2(x-2)$ first:

Subtract $(3+2a)x(x-2)$ next:

Finally subtract $(4a-2)(x-2)$:

The remainder is 3, so