题目

Problem

Find the coefficient of the term in $x^7$ in the binomial expansion of

\bigg(\frac38+4x\bigg)^{12}

giving your answer in simplest form.

(3)

题目中文翻译

求二项式展开式

\bigg(\frac38+4x\bigg)^{12}

中 $x^7$ 项的系数，答案用最简形式表示。

（3分）

解答

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在 $\bigg(a+b\bigg)^{12}$ 中，含 $x^7$ 的项一定来自 $(4x)^7$ ，所以另一部分是 $\bigg(\frac38\bigg)^5$ 。

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The relevant binomial coefficient is $\binom{12}{7}=792$ . The term in $x^7$ is

792 \bigg(\frac38\bigg)^5 (4x)^7.

So the coefficient of $x^7$ is

\begin{align*} C=&\,792\bigg(\frac38\bigg)^5 4^7\\ =&\,792\times\frac{243}{2}\\ =&\,96228. \end{align*}

Therefore, the coefficient is

\begin{align*} 96228. \end{align*}

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先提取常数 $\frac38$ ，将括号化为 $1+\frac{32x}{3}$ ，再取第八项的系数。

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Write

\begin{align*} &\,\bigg(\frac38+4x\bigg)^{12}\\ =&\,\bigg(\frac38\bigg)^{12} \bigg(1+\frac{32x}{3}\bigg)^{12}. \end{align*}

In the normalized expansion, the coefficient of $x^7$ is $M=792(32/3)^7$ . Restoring the constant factor gives

\begin{align*} C =&\,\bigg(\frac38\bigg)^{12}M\\ =&\,792\times3^{12-7}\times2^{35-36}\\ =&\,792\times3^5\times\frac12\\ =&\,\boxed{96228}. \end{align*}