圆 $C$：

• 圆心为 $A(3,5)$；
• 经过点 $B(8,-7)$。

(a) 求 $C$ 的方程。

（3分）

点 $M$ 和 $N$ 在圆 $C$ 上，$MN$ 是 $C$ 的一条弦。已知 $MN$：

• 位于 $x$ 轴上方；
• 平行于 $x$ 轴；
• 长度为 $4\sqrt{22}$。

(b) 求经过 $M$、$N$ 的直线方程。

（3分）

圆心已经给出，所以只需要用点 $B$ 求半径。圆的标准形式是 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。

The centre is $A(3,5)$.

The radius is $AB$, so

Therefore, an equation of $C$ is

水平弦的中点在圆心正上方或正下方。先求出圆心到弦的距离，再检查两个候选高度；不能仅凭“在 $x$ 轴上方”就认定弦在圆心上方。半弦长是 $2\sqrt{22}$，半径是 $13$，用直角三角形求圆心到弦的距离。

The radius of the circle is

Since $MN$ has length $4\sqrt{22}$, half of the chord has length

Let the perpendicular distance from $A$ to the chord $MN$ be $d$.

Using Pythagoras’ theorem,

The possible heights of the horizontal chord are $5+9=14$ and $5-9=-4$. Since $MN$ lies above the $x$-axis, reject $-4$ and choose

Therefore, the equation of the line through $M$ and $N$ is

由于 $MN$ 平行于 $x$ 轴，设直线方程为 $y=k$（且 $k>0$）。因为 $MN$ 的长度为 $4\sqrt{22}$，且圆的对称轴为 $x=3$，所以 $M, N$ 的 $x$ 坐标为 $3 \pm 2\sqrt{22}$。将其代入圆方程中可以直接求解 $k$。

Since the chord $MN$ is parallel to the $x$-axis, its equation can be written as $y = k$ (where $k > 0$).

The centre of the circle is $A(3,5)$ and the length of $MN$ is $4\sqrt{22}$, which means the $x$-coordinates of the points $M$ and $N$ are symmetrically placed at:

Substitute these coordinates into the equation of $C$ from part (a):

This gives two possible values:

Since the chord lies above the $x$-axis, we must have $k > 0$, so $k = 14$.

Therefore, the equation of the line is $y = 14$.

用三角形 $MNA$ 的余弦定理求底角的精确余弦，再求正弦，得到圆心到弦的距离。保留精确值，避免把 14 算成舍入的近似值。

Let $\beta=\angle MNA$. Since $AM=AN=13$ and $MN=4\sqrt{22}$, the cosine rule gives

The angle is acute, so

The perpendicular distance from $A$ to $MN$ is $d=13\sin\beta=9$. Hence the candidate heights are $5\pm9$, namely $14$ and $-4$.

Only $14$ is above the $x$-axis, so