题目

Problem

(a) Sketch the curve with equation

y=a^{-x}+4

where $a$ is a constant and $a>1$

On your sketch show

the coordinates of the point of intersection of the curve with the $y$ -axis
the equation of the asymptote to the curve.

(3)

$x$	$y$
$-4$	$13$
$-1.5$	$6.280$
$1$	$4.577$
$3.5$	$4.146$
$6$	$4.037$
$8.5$	$4.009$

The table above shows corresponding values of $x$ and $y$ for

y=3^{-\frac12x}+4

The values of $y$ are given to four significant figures, as appropriate.

Using the trapezium rule with all the values of $y$ in the table,

(b) find an approximate value for

\int_{-4}^{8.5}\bigg(3^{-\frac12x}+4\bigg)\,\mathrm{d}x

giving your answer to two significant figures.

(3)

(i)

\int_{-4}^{8.5}3^{-\frac12x}\,\mathrm{d}x

(ii)

\begin{aligned} &\,\int_{-4}^{8.5}\bigg(3^{-\frac12x}+4\bigg)\,\mathrm{d}x\\ &\,\hspace{2pt}+\int_{-8.5}^{4}\bigg(3^{\frac12x}+4\bigg)\,\mathrm{d}x \end{aligned}

(3)

题目中文翻译

(a) 画出曲线

y=a^{-x}+4

的草图，其中 $a$ 为常数且 $a>1$ 。在图上标明：

曲线与 $y$ 轴交点的坐标；
曲线渐近线的方程。

（3分）

$x$	$y$
$-4$	$13$
$-1.5$	$6.280$
$1$	$4.577$
$3.5$	$4.146$
$6$	$4.037$
$8.5$	$4.009$

上表给出 $y=3^{-x/2}+4$ 的对应 $x$ 、 $y$ 值。适当时， $y$ 值保留四位有效数字。

使用梯形法则及表中全部 $y$ 值，

(b) 求

\int_{-4}^{8.5}\big(3^{-x/2}+4\big)\,\mathrm{d}x

的近似值，答案保留两位有效数字。

（3分）

(i)

\int_{-4}^{8.5}3^{-x/2}\,\mathrm{d}x

(ii)

\begin{aligned} &\,\int_{-4}^{8.5}\big(3^{-x/2}+4\big)\,\mathrm{d}x\\ &\,\hspace{2pt}+\int_{-8.5}^{4}\big(3^{x/2}+4\big)\,\mathrm{d}x \end{aligned}

（3分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

因为 $a>1$ ，所以 $a^{-x}$ 是递减指数曲线。令 $x=0$ 可得 $y$ -截距；当 $x$ 很大时， $a^{-x}$ 趋近于 $0$ ，所以曲线趋近于 $y=4$ 。

答题过程

展开

When $x=0$ ,

\begin{align*} y=a^0+4=1+4=5. \end{align*}

So the curve intersects the $y$ -axis at

\begin{align*} (0,5). \end{align*}

As $x\to \infty$ ,

\begin{align*} a^{-x}\to 0, \end{align*}

\begin{align*} y\to 4. \end{align*}

Therefore, the asymptote is

\begin{align*} y=4. \end{align*}

The sketch should be a decreasing exponential curve passing through $(0,5)$ and approaching the horizontal asymptote $y=4$ .

(b)

解法一

思路

展开

表格中的 $x$ 每次增加 $2.5$ ，所以梯形法的宽度是 $h=2.5$ 。使用所有 $y$ 值时，首尾各一次，中间值乘 $2$ 。

答题过程

展开

The strip width is

\begin{align*} h=2.5. \end{align*}

Using the trapezium rule,

\begin{align*} \int_{-4}^{8.5}\bigg(3^{-\frac12x}+4\bigg)\,\mathrm{d}x &\approx \frac{2.5}{2} \{13+4.009\\ &\,\hspace{2pt}+2(6.280+4.577\\ &\,\hspace{4pt}+4.146+4.037)\}\\ =&\,68.86125. \end{align*}

To two significant figures,

\begin{align*} 69. \end{align*}

也可逐个计算五个小梯形再相加：

\begin{align*} I\approx&\,24.1+13.57125+10.90375\\ &\,\hspace{2pt}+10.22875+10.0575\\ =&\,68.86125\approx69. \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

展开

第 (b) 题算的是 $3^{-\frac12x}+4$ 的积分。现在只要 $3^{-\frac12x}$ 的积分，所以要减去常数 $4$ 在区间 $[-4,8.5]$ 上的面积。

答题过程

展开

Using the answer to part (b),

\begin{align*} \int_{-4}^{8.5}3^{-\frac12x}\,\mathrm{d}x &\approx 69-\int_{-4}^{8.5}4\,\mathrm{d}x\\ =&\,69-4(8.5-(-4))\\ =&\,69-50\\ =&\,19. \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

展开

第二个积分可通过代换看成和第 (b) 题同样大小的面积，因此两个积分相加就是第 (b) 题答案的两倍。

答题过程

展开

Let $u=-x$ , so $\mathrm{d}x=-\mathrm{d}u$ . When $x=-8.5$ , $u=8.5$ ; when $x=4$ , $u=-4$ .

Thus

\begin{align*} &\,\int_{-8.5}^{4} \big(3^{x/2}+4\big)\,\mathrm{d}x\\ =&\,-\int_{8.5}^{-4} \big(3^{-u/2}+4\big)\,\mathrm{d}u\\ =&\,\int_{-4}^{8.5} \big(3^{-u/2}+4\big)\,\mathrm{d}u. \end{align*}

This equals the integral in part (b). Therefore the sum of the two integrals is approximately

2\times69=\boxed{138}.

P2 2024 Jan Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程