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P2 2024 Jan Q5

A Level / Edexcel / P2

IAL 2024 Jan Paper · Question 5

题目

Problem

(i) Find the value of

∑r=1∞6(0.25)r\sum_{r=1}^{\infty}6(0.25)^r
(3)

(ii) A sequence u1,u2,u3,…u_1,u_2,u_3,\ldots is defined by

u1=3,un+1=un−3un−2n∈Nu_1=3,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n-3}{u_n-2} \quad n\in\mathbb{N}

(a) Show that this sequence is periodic.

(2)

(b) State the order of this sequence.

(1)

(c) Hence find

∑n=170un\sum_{n=1}^{70}u_n
(2)
题目中文翻译

(i) 求

∑r=1∞6(0.25)r\sum_{r=1}^{\infty}6(0.25)^r

的值。

（3分）

(ii) 数列 u1,u2,u3,…u_1,u_2,u_3,\ldots 定义为

u1=3,un+1=un−3un−2,n∈N.u_1=3,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n-3}{u_n-2},\quad n\in\mathbb N.

(a) 证明此数列为周期数列。

（2分）

(b) 写出此数列的阶数。

（1分）

(c) 由此求

∑n=170un\sum_{n=1}^{70}u_n

的值。

（2分）

解答

(i)

解法一

思路

展开

这是无穷等比级数。注意第一项从 r=1r=1 开始，所以第一项是 6(0.25)6(0.25)，不是 66。

答题过程

展开

The first term is

6(0.25)=1.5.\begin{align*} 6(0.25)=1.5. \end{align*}

Since ∣r∣=0.25<1|r|=0.25<1, the sum to infinity exists. The common ratio is

r=0.25.\begin{align*} r=0.25. \end{align*}

So

S∞= a1−r= 1.51−0.25= 1.50.75= 2.\begin{align*} S_\infty=&\,\frac{a}{1-r}\\ =&\,\frac{1.5}{1-0.25}\\ =&\,\frac{1.5}{0.75}\\ =&\,2. \end{align*}

也可先从 r=0r=0 开始求无穷和，再减去多出的首项 6：

61−0.25−6=8−6=2.\frac6{1-0.25}-6=8-6=2.

(ii)(a)

解法一

思路

展开

只要算出若干项后发现回到 u1=3u_1=3，后面就会重复同样的循环。

答题过程

展开

Given u1=3u_1=3,

u2= 3−33−2=0,u3= 0−30−2=32,u4= 32−332−2= −32−12= 3.\begin{align*} u_2=&\,\frac{3-3}{3-2}=0,\\ u_3=&\,\frac{0-3}{0-2}=\frac32,\\ u_4=&\,\frac{\frac32-3}{\frac32-2}\\ =&\,\frac{-\frac32}{-\frac12}\\ =&\,3. \end{align*}

Since u4=u1u_4=u_1, the sequence repeats:

3, 0, 32, 3, 0, 32,…\begin{align*} 3,\ 0,\ \frac32,\ 3,\ 0,\ \frac32,\ldots \end{align*}

Therefore, the sequence is periodic.

(ii)(b)

解法一

思路

展开

循环的基本长度是 3,0,323,0,\frac32，所以阶数是 33。

答题过程

展开

The sequence repeats every 33 terms.

Therefore, the order is

3.\begin{align*} 3. \end{align*}

(ii)(c)

解法一

思路

展开

每 33 项一组，和是 3+0+32=923+0+\frac32=\frac92。70=23×3+170=23\times3+1，所以有 2323 组完整循环，再多一个第一项 33。

答题过程

展开

One full cycle has sum

3+0+32=92.\begin{align*} 3+0+\frac32=\frac92. \end{align*}

Also,

70=23×3+1.\begin{align*} 70=23\times3+1. \end{align*}

Therefore,

∑n=170un= 23(92)+3= 2072+3= 2132= 106.5.\begin{align*} \sum_{n=1}^{70}u_n =&\,23\bigg(\frac92\bigg)+3\\ =&\,\frac{207}{2}+3\\ =&\,\frac{213}{2}\\ =&\,106.5. \end{align*}