(a) 已知

证明

（4分）

(b) 又已知 $-1$ 是方程 $x^3+6x^2+x-4=0$ 的一个根，

(i) 用代数方法求另外两个根。

（3分）

(ii) 由此解方程

（1分）

先把 $2\log_4(x+3)$ 写成 $\log_4((x+3)^2)$，再把 $\frac12$ 写成 $\log_4 2$。这样两边都可以合并成一个对数。

The logarithms require $x>0$ (which also makes $x+3$ and $4x+2$ positive). Start with

Using $2\log_4(x+3)=\log_4((x+3)^2)$ and $\frac12=\log_4 2$,

So

Hence

This is the required result.

使用对数定义移项合并法。将所有含对数的项移项到左边，利用对数的性质合并为一个对数式，然后根据对数定义（$\log_b N = c \iff N = b^c$）去掉对数符号求解。

Rearrange the equation to group all logarithm terms on the left:

Apply the laws of logarithms:

By the definition of a logarithm:

This is the required result.

$-1$ 是根，所以 $(x+1)$ 是因式。把三次式除以 $(x+1)$，再解剩下的二次方程。

Since $-1$ is a root, $(x+1)$ is a factor.

Divide $x^3+6x^2+x-4$ by $(x+1)$:

Subtract $x^2(x+1)$, then $5x(x+1)$:

The final quotient term is $-4$, since $-4(x+1)=-4x-4$. Hence

Now solve

Using the quadratic formula,

So the other two roots are

原来的对数方程要求 $x>0$。三个根中只有 $\frac{-5+\sqrt{41}}2$ 是正数。

For the logarithmic equation, $x>0$ is required.

The roots of the cubic are

Only one of these is positive, so