题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(i) Using the laws of logarithms, solve

2\log_2(2-x)=4+\log_2(x+10)

(5)

(ii) Find the value of

\log_{\sqrt a}a^6

where $a$ is a positive constant greater than $1$

(1)

题目中文翻译

本题必须写出所有计算步骤。完全依赖计算器技术的解答不予接受。

(i) 利用对数法则，解方程 $2\log_2(2-x)=4+\log_2(x+10)$ 。（5分）

(ii) 求 $\log_{\sqrt a}a^6$ 的值，其中 $a$ 是大于 $1$ 的正常数。（1分）

解答

(i)

解法一

思路

展开

先把左边的系数 $2$ 放进对数内部，把 $4$ 写成 $\log_2 16$ ，再合并对数。最后要检查对数定义域。

答题过程

展开

Use

\begin{align*} 2\log_2(2-x)=\log_2((2-x)^2) \end{align*}

and

\begin{align*} 4=\log_2 16. \end{align*}

Then

\begin{align*} \log_2((2-x)^2) =&\,\log_2 16+\log_2(x+10)\\ =&\,\log_2(16(x+10)). \end{align*}

\begin{align*} (2-x)^2=&\,16(x+10)\\ x^2-4x+4=&\,16x+160\\ x^2-20x-156=&\,0\\ (x+6)(x-26)=&\,0. \end{align*}

Thus

\begin{align*} x=-6\quad\text{or}\quad x=26. \end{align*}

For the original logarithms,

2-x>0 \quad\text{and}\quad x+10>0.

\begin{align*} -10<x<2. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} x=-6. \end{align*}

同一对数消元也可用商法。仍须满足 $-10<x<2$ ：

\begin{align*} \log_2\big((2-x)^2\big)-\log_2(x+10)=&\,4,\\ \log_2\frac{(2-x)^2}{x+10}=&\,4,\\ \frac{(2-x)^2}{x+10}=&\,16. \end{align*}

Hence $(2-x)^2=16(x+10)$ , giving the same quadratic and the same valid solution $x=-6$ .

(ii)

解法一

思路

展开

$\sqrt a=a^{1/2}$ ，所以要问的是 $(a^{1/2})$ 的多少次方等于 $a^6$ 。

答题过程

展开

Let

\begin{align*} \log_{\sqrt a}a^6=m. \end{align*}

Then

\begin{align*} (\sqrt a)^m=a^6. \end{align*}

Since $\sqrt a=a^{1/2}$ ,

\begin{align*} a^{m/2}=a^6. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} \frac m2=6, \end{align*}

\begin{align*} m=12. \end{align*}

换底公式给出同一个结果：

\begin{align*} \log_{\sqrt a}a^6 =&\,\frac{\log a^6}{\log a^{1/2}}\\ =&\,\frac{6\log a}{\frac12\log a}\\ =&\,12. \end{align*}

Here $a>1$ , so $\log a\ne0$ .

P2 2024 May Q3

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)

解法一

思路

答题过程