题目

Problem

$f(x)=(x-2)(2x^2+5x+k)+21$

where $k$ is a constant.

(a) State the remainder when $f(x)$ is divided by $(x-2)$

(1)

Given that $(2x-1)$ is a factor of $f(x)$

(b) show that $k=11$

(2)

(i) fully factorise $f(x)$ ,

(ii) find the number of real solutions of the equation

f(x)=0

giving a reason for your answer.

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

当 $x=2$ 时， $(x-2)$ 那一整项为 $0$ ，所以余数就是 $f(2)$ 。

答题过程

展开

By the remainder theorem, the remainder is $f(2)$ .

\begin{align*} f(2)=&\,(2-2)(2(2)^2+5(2)+k)+21\\ =&\,21. \end{align*}

Therefore, the remainder is

\begin{align*} 21. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

$(2x-1)$ 是因式，所以 $x=\frac12$ 是根。代入 $f(x)=0$ 解 $k$ 。

答题过程

展开

Since $(2x-1)$ is a factor,

\begin{align*} f\left(\frac12\right)=0. \end{align*}

\begin{align*} \left(\frac12-2\right) \left(2\left(\frac12\right)^2+5\left(\frac12\right)+k\right)+21=&\,0\\ -\frac32\left(\frac12+\frac52+k\right)+21=&\,0\\ -\frac32(3+k)+21=&\,0\\ -3(3+k)+42=&\,0\\ -9-3k+42=&\,0\\ 3k=&\,33\\ k=&\,11. \end{align*}

This is the required result.

(c)(i)

解法一

思路

展开

先把 $k=11$ 代入并展开成三次式，再利用已知因式 $(2x-1)$ 分解。

答题过程

展开

With $k=11$ ,

\begin{align*} f(x) =&\,\, (x-2)(2x^2+5x+11)+21\\[4mm] =&\,\, x(2x^2+5x+11)-2(2x^2+5x+11)+21\\[4mm] =&\,\, 2x^3+5x^2+11x-4x^2-10x-22+21\\[4mm] =&\,\, 2x^3+x^2+x-1. \end{align*}

Since $(2x-1)$ is a factor,

\begin{align*} 2x^3+x^2+x-1 = (2x-1)(x^2+x+1). \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} f(x) = (2x-1)(x^2+x+1). \end{align*}

解法二

思路

展开

待定系数法（inspection）。代入 $k=11$ 展开得到三次式 $f(x) = 2x^3+x^2+x-1$ 。因为已给因式 $(2x-1)$ ，可设商式为二次式 $(ax^2+bx+c)$ 。通过两端的最高次项与常数项可以直接口算出 $a$ 和 $c$ ，再对比中间项系数得到 $b$ ，免去多项式长除法。

答题过程

展开

Substitute $k=11$ and expand the cubic:

\begin{align*} f(x) = 2x^3+x^2+x-1 \end{align*}

Since $(2x-1)$ is a factor of $f(x)$ , we can assume the factorised form is:

\begin{align*} 2x^3+x^2+x-1 = (2x-1)(ax^2+bx+c) \end{align*}

Compare the coefficients:

For the $x^3$ term:

\begin{align*} 2a = 2 \implies a = 1 \end{align*}

For the constant term:

\begin{align*} -c = -1 \implies c = 1 \end{align*}

For the $x^2$ term (expanding $(2x-1)(x^2+bx+1)$ ):

\begin{align*} 2b - a =&\,\, 1\\[4mm] 2b - 1 =&\,\, 1\dots\dots(\text{since } a=1)\\[4mm] 2b =&\,\, 2\\[4mm] b =&\,\, 1 \end{align*}

Therefore, the quadratic factor is $(x^2+x+1)$ , and the fully factorised form of $f(x)$ is:

\begin{align*} f(x) = (2x-1)(x^2+x+1) \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

展开

线性因式给一个实根。二次因式是否有实根，要看判别式。

答题过程

展开

From part (c)(i),

\begin{align*} f(x)=(2x-1)(x^2+x+1). \end{align*}

The factor $2x-1=0$ gives

\begin{align*} x=\frac12. \end{align*}

For $x^2+x+1=0$ , the discriminant is

\begin{align*} b^2-4ac=&\,1^2-4(1)(1)\\ =&\,-3. \end{align*}

Since $-3<0$ , the quadratic has no real roots.

Therefore, $f(x)=0$ has

\begin{align*} 1 \end{align*}

real solution.

IAL 2024 May Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程