题目

Problem

(a) Sketch the curve with equation

y=a^x+4

where $a$ is a positive constant greater than $1$

On your sketch, show

the coordinates of the point of intersection of the curve with the $y$ -axis
the equation of the asymptote of the curve

(3)

\begin{array}{c|cccccc} x&2&2.3&2.6&2.9&3.2&3.5\\ \hline y&0&0.3246&0.8629&1.6643&2.7896&4.3137 \end{array}

The table shows corresponding values of $x$ and $y$ for

y=2^x-2x

with the values of $y$ given to $4$ decimal places as appropriate.

Using the trapezium rule with all the values of $y$ in the given table,

(b) obtain an estimate for

\int_2^{3.5}(2^x-2x)\,\mathrm{d}x

giving your answer to $2$ decimal places.

(3)

(i)

\int_2^{3.5}(2^x+2x)\,\mathrm{d}x

(ii)

\int_2^{3.5}(2^{x+1}-4x)\,\mathrm{d}x

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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$a>1$ ，所以 $a^x$ 是递增指数曲线。加 $4$ 会把整条曲线上移 $4$ ，因此水平渐近线是 $y=4$ ， $y$ -截距是 $a^0+4=5$ 。

答题过程

展开

When $x=0$ ,

\begin{align*} y=a^0+4=1+4=5. \end{align*}

So the curve intersects the $y$ -axis at

\begin{align*} (0,5). \end{align*}

As $x\to -\infty$ ,

\begin{align*} a^x\to 0, \end{align*}

\begin{align*} y\to 4. \end{align*}

Therefore, the asymptote is

\begin{align*} y=4. \end{align*}

The sketch should be an increasing exponential curve through $(0,5)$ , approaching the horizontal asymptote $y=4$ on the left.

(b)

解法一

思路

展开

相邻 $x$ 值相差 $0.3$ ，所以梯形宽度 $h=0.3$ 。首尾各算一次，中间值乘 $2$ 。

答题过程

展开

The strip width is

\begin{align*} h=0.3. \end{align*}

Using the trapezium rule,

\begin{align*} \int_2^{3.5}(2^x-2x)\,\mathrm{d}x &\approx \frac{0.3}{2} \{0+4.3137\\ &\,\hspace{2pt}+2(0.3246+0.8629\\ &\,\hspace{4pt}+1.6643+2.7896)\}\\ =&\,2.339\ldots \end{align*}

To $2$ decimal places,

\begin{align*} 2.34. \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

展开

$2^x+2x$ 可以写成 $(2^x-2x)+4x$ 。前半部分就是第 (b) 题，后半部分可以直接积分。

答题过程

展开

Since

\begin{align*} 2^x+2x=(2^x-2x)+4x, \end{align*}

we have

\begin{align*} \int_2^{3.5}(2^x+2x)\,\mathrm{d}x =&\,\, \int_2^{3.5}(2^x-2x)\,\mathrm{d}x +\int_2^{3.5}4x\,\mathrm{d}x\\[4mm] \approx&\,\, 2.34+\left[2x^2\right]_2^{3.5}\\[4mm] =&\,\, 2.34+2(3.5)^2-2(2)^2\\[4mm] =&\,\, 2.34+24.5-8\\[4mm] =&\,\, 18.84. \end{align*}

解法二

思路

展开

单项积分法。已知 (b) 中 $\int_2^{3.5} (2^x - 2x) \mathrm{d}x \approx 2.34$ 。我们可以把这个积分拆开，单独算出指数部分 $\int_2^{3.5} 2^x \mathrm{d}x$ 的值，再代回求 $\int (2^x + 2x) \mathrm{d}x$ 。

答题过程

展开

From part (b), we know:

\begin{align*} \int_2^{3.5} (2^x - 2x) \,\mathrm{d}x \approx 2.34 \end{align*}

Isolate the exponential term:

\begin{align*} \int_2^{3.5} 2^x \,\mathrm{d}x - \int_2^{3.5} 2x \,\mathrm{d}x \approx&\,\, 2.34\\[4mm] \int_2^{3.5} 2^x \,\mathrm{d}x - \left[ x^2 \right]_2^{3.5} \approx&\,\, 2.34\\[4mm] \int_2^{3.5} 2^x \,\mathrm{d}x - \left( 3.5^2 - 2^2 \right) \approx&\,\, 2.34\\[4mm] \int_2^{3.5} 2^x \,\mathrm{d}x - 8.25 \approx&\,\, 2.34\\[4mm] \int_2^{3.5} 2^x \,\mathrm{d}x \approx&\,\, 10.59 \end{align*}

Now calculate the required integral using this value:

\begin{align*} \int_2^{3.5} (2^x + 2x) \,\mathrm{d}x =&\,\, \int_2^{3.5} 2^x \,\mathrm{d}x + \int_2^{3.5} 2x \,\mathrm{d}x\\[4mm] \approx&\,\, 10.59 + 8.25\\[4mm] =&\,\, 18.84 \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

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$2^{x+1}=2\cdot 2^x$ ，所以 $2^{x+1}-4x=2(2^x-2x)$ 。因此积分就是第 (b) 题答案的 $2$ 倍。

答题过程

展开

Since

\begin{align*} 2^{x+1}-4x=2(2^x-2x), \end{align*}

we have

\begin{align*} \int_2^{3.5}(2^{x+1}-4x)\,\mathrm{d}x =&\,2\int_2^{3.5}(2^x-2x)\,\mathrm{d}x\\ &\approx 2(2.34)\\ =&\,4.68. \end{align*}

IAL 2024 May Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程