题目

Problem

(a) Sketch the curve with equation

y=a^x+4

where $a$ is a positive constant greater than $1$

On your sketch, show

the coordinates of the point of intersection of the curve with the $y$ -axis
the equation of the asymptote of the curve

(3)

$x$	$y$
$2$	$0$
$2.3$	$0.3246$
$2.6$	$0.8629$
$2.9$	$1.6643$
$3.2$	$2.7896$
$3.5$	$4.3137$

The table shows corresponding values of $x$ and $y$ for

y=2^x-2x

with the values of $y$ given to $4$ decimal places as appropriate.

Using the trapezium rule with all the values of $y$ in the given table,

(b) obtain an estimate for

\int_2^{3.5}(2^x-2x)\,\mathrm{d}x

giving your answer to $2$ decimal places.

(3)

(i)

\int_2^{3.5}(2^x+2x)\,\mathrm{d}x

(ii)

\int_2^{3.5}(2^{x+1}-4x)\,\mathrm{d}x

(3)

题目中文翻译

(a) 画出曲线 $y=a^x+4$ 的草图，其中 $a$ 是大于 $1$ 的正常数。图上须标出曲线与 $y$ 轴交点的坐标，以及曲线的渐近线方程。（3分）

下表列出 $y=2^x-2x$ 对应的 $x$ 、 $y$ 值； $y$ 值在适当情况下保留四位小数。

$x$	$y$
$2$	$0$
$2.3$	$0.3246$
$2.6$	$0.8629$
$2.9$	$1.6643$
$3.2$	$2.7896$
$3.5$	$4.3137$

(b) 使用梯形法及表中所有 $y$ 值，估计 $\int_2^{3.5}(2^x-2x)\,\mathrm{d}x$ ，答案保留两位小数。（3分）

(i) $\int_2^{3.5}(2^x+2x)\,\mathrm{d}x$ ；

(ii) $\int_2^{3.5}(2^{x+1}-4x)\,\mathrm{d}x$ 。（共3分）

解答

(a)

解法一

思路

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$a>1$ ，所以 $a^x$ 是递增指数曲线。加 $4$ 会把整条曲线上移 $4$ ，因此水平渐近线是 $y=4$ ， $y$ -截距是 $a^0+4=5$ 。

答题过程

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When $x=0$ ,

\begin{align*} y=a^0+4=1+4=5. \end{align*}

So the curve intersects the $y$ -axis at

\begin{align*} (0,5). \end{align*}

As $x\to -\infty$ ,

\begin{align*} a^x\to 0, \end{align*}

\begin{align*} y\to 4. \end{align*}

Therefore, the asymptote is

\begin{align*} y=4. \end{align*}

The sketch should be an increasing exponential curve through $(0,5)$ , approaching the horizontal asymptote $y=4$ on the left.

(b)

解法一

思路

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相邻 $x$ 值相差 $0.3$ ，所以梯形宽度 $h=0.3$ 。首尾各算一次，中间值乘 $2$ 。

答题过程

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The strip width is

\begin{align*} h=0.3. \end{align*}

Using the trapezium rule,

\begin{align*} B=&\,0.3246+0.8629\\ &\,\hspace{2pt}+1.6643+2.7896\\ =&\,5.6414. \end{align*}

Then

\begin{align*} &\,\int_2^{3.5}(2^x-2x)\,\mathrm{d}x\\ \approx&\,\frac{0.3}{2}(0+4.3137+2B)\\ =&\,2.339475 \end{align*}

To $2$ decimal places,

\begin{align*} 2.34. \end{align*}

(c)(i)

解法一

思路

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$2^x+2x$ 可以写成 $(2^x-2x)+4x$ 。前半部分就是第 (b) 题，后半部分可以直接积分。

答题过程

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Since

\begin{align*} 2^x+2x=(2^x-2x)+4x, \end{align*}

we have

\begin{align*} &\,\int_2^{3.5}(2^x+2x)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\int_2^{3.5}(2^x-2x)\,\mathrm{d}x\\ &\,\hspace{2pt}+\int_2^{3.5}4x\,\mathrm{d}x\\ \approx&\, 2.34+\big[2x^2\big]_2^{3.5}\\ =&\, 2.34+2(3.5)^2-2(2)^2\\ =&\, 2.34+24.5-8\\ =&\, 18.84. \end{align*}

同一校正面积也可几何计算：直线 $y=4x$ 在 $x=2$ 和 $x=3.5$ 处的高度分别为 $8$ 和 $14$ ，下方梯形面积为

\frac{3.5-2}{2}(8+14)=16.5.

Adding this to the estimate $2.34$ again gives $18.84$ .

解法二

思路

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单项积分法。已知 (b) 中 $\int_2^{3.5}(2^x-2x)\,\mathrm{d}x \approx 2.34$ 。我们可以把这个积分拆开，单独算出指数部分 $\int_2^{3.5}2^x\,\mathrm{d}x$ 的值，再代回求 $\int(2^x+2x)\,\mathrm{d}x$ 。

答题过程

展开

From part (b), we know:

\begin{align*} \int_2^{3.5} (2^x - 2x) \,\mathrm{d}x \approx 2.34 \end{align*}

Isolate the exponential term:

\begin{align*} J=&\,\int_2^{3.5}2^x\,\mathrm{d}x,\\ L=&\,\int_2^{3.5}2x\,\mathrm{d}x\\ =&\,\big[x^2\big]_2^{3.5}\\ =&\,3.5^2-2^2=8.25. \end{align*}

Thus

\begin{align*} J-L\approx&\,2.34,\\ J\approx&\,2.34+8.25\\ =&\,10.59. \end{align*}

Now calculate the required integral using this value:

\begin{align*} \int_2^{3.5}(2^x+2x)\,\mathrm{d}x=&\,J+L\\ \approx&\, 10.59 + 8.25\\ =&\, 18.84 \end{align*}

(c)(ii)

解法一

思路

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$2^{x+1}=2\cdot 2^x$ ，所以 $2^{x+1}-4x=2(2^x-2x)$ 。因此积分就是第 (b) 题答案的 $2$ 倍。

答题过程

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Since

\begin{align*} 2^{x+1}-4x=2(2^x-2x), \end{align*}

we have

\begin{align*} &\,\int_2^{3.5}(2^{x+1}-4x)\,\mathrm{d}x\\ =&\,2\int_2^{3.5}(2^x-2x)\,\mathrm{d}x\\ &\approx 2(2.34)\\ =&\,4.68. \end{align*}

P2 2024 May Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程