题目

Problem

Figure 1 is a sketch of the curve $C$ with equation

y=2x^{\frac32}(4-x) \qquad x\geq0

The point $P$ is the stationary point of $C$ .

(a) Find, using calculus, the $x$ coordinate of $P$ .

(4)

The region $R_1$ , shown shaded in Figure 1, is bounded by $C$ and the $x$ -axis.

The region $R_2$ , also shown shaded in Figure 1, is bounded by $C$ , the $x$ -axis and the line with equation $x=k$ , where $k$ is a constant.

Given that the area of $R_1$ is equal to the area of $R_2$

(b) find, using calculus, the exact value of $k$ .

(4)

题目中文翻译

图1是曲线 $C$ 的草图，其方程为 $y=2x^{3/2}(4-x)$ ， $x\geq0$ 。点 $P$ 是 $C$ 的驻点。

(a) 利用微积分求 $P$ 的 $x$ 坐标。（4分）

图1中阴影区域 $R_1$ 由 $C$ 和 $x$ 轴围成。另一阴影区域 $R_2$ 由 $C$ 、 $x$ 轴和直线 $x=k$ 围成，其中 $k$ 是常数。

已知 $R_1$ 与 $R_2$ 的面积相等。

(b) 利用微积分求 $k$ 的精确值。（4分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把函数展开成幂函数之和，再求导。驻点满足 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ 。

答题过程

展开

Rewrite the curve:

\begin{align*} y=&\,2x^{\frac32}(4-x)\\ =&\,8x^{\frac32}-2x^{\frac52}. \end{align*}

Differentiate:

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,8\bigg(\frac32\bigg)x^{\frac12}\\ &\,\hspace{2pt}-2\bigg(\frac52\bigg)x^{\frac32}\\ =&\,12x^{\frac12}-5x^{\frac32}. \end{align*}

At a stationary point,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0. \end{align*}

\begin{align*} 12x^{\frac12}-5x^{\frac32}=&\,0\\ x^{\frac12}(12-5x)=&\,0. \end{align*}

The stationary point $P$ is not at $x=0$ , so

\begin{align*} 12-5x=&\,0\\ x=&\,\frac{12}{5}. \end{align*}

解法二

思路

展开

用乘积法则直接求导，再提出 $x^{1/2}$ 。图中的驻点 $P$ 不在原点，因此取非零解。

答题过程

展开

For $y=2x^{3/2}(4-x)$ , the product rule gives

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,3x^{1/2}(4-x)-2x^{3/2}\\ =&\,x^{1/2}\big(3(4-x)-2x\big)\\ =&\,x^{1/2}(12-5x). \end{align*}

At $P$ , the derivative is zero and $x\ne0$ . Hence

\begin{align*} 12-5x=&\,0,\\ x=&\,\frac{12}{5}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

$R_1$ 在 $x$ 轴上方， $R_2$ 在 $x$ 轴下方。两块面积相等，表示从 $0$ 到 $k$ 的有向面积为 $0$ 。

答题过程

展开

Integrate the curve:

\begin{align*} &\,\int\big(8x^{3/2}-2x^{5/2}\big)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac{16}{5}x^{5/2}-\frac47x^{7/2}+C. \end{align*}

Since the area above the $x$ -axis equals the area below the $x$ -axis,

\begin{align*} \int_0^k y\,\mathrm{d}x=0. \end{align*}

\begin{align*} \big[ \frac{16}{5}x^{\frac52} -\frac47x^{\frac72} \big]_0^k=&\,0\\ \frac{16}{5}k^{\frac52} -\frac47k^{\frac72}=&\,0. \end{align*}

Factorise:

\begin{align*} k^{\frac52}\big(\frac{16}{5}-\frac47k\big)=&\,0. \end{align*}

Since the region $R_2$ lies to the right of $x=4$ , $k>4$ and hence $k\ne0$ :

\begin{align*} \frac{16}{5}-\frac47k=&\,0\\ \frac47k=&\,\frac{16}{5}\\ k=&\,\frac{16}{5}\cdot\frac74\\ =&\,\frac{28}{5}. \end{align*}

解法二

思路

展开

先分别计算两块正面积。曲线在 $0<x<4$ 为正，在 $4<x<k$ 为负，因此 $R_2$ 的面积要在定积分前加负号。

答题过程

展开

The non-zero $x$ -intercept is $x=4$ . Define

F(x)=\frac{16}{5}x^{5/2}-\frac47x^{7/2}.

The area of $R_1$ is

\begin{align*} A_1=&\,F(4)-F(0)\\ =&\,\frac{16}{5}(32)-\frac47(128)\\ =&\,\frac{512}{5}-\frac{512}{7}\\ =&\,\frac{1024}{35}. \end{align*}

For $4<x<k$ , the curve is below the $x$ -axis, so

\begin{align*} A_2=&\,-\int_4^k y\,\mathrm{d}x\\ =&\,-\big(F(k)-F(4)\big)\\ =&\,\frac{1024}{35}-F(k). \end{align*}

Since $A_1=A_2$ ,

\begin{align*} \frac{1024}{35}=&\,\frac{1024}{35}-F(k),\\ F(k)=&\,0,\\ k^{5/2}\bigg(\frac{16}{5}-\frac47k\bigg)=&\,0. \end{align*}

As $k>4$ , $k^{5/2}\ne0$ . Therefore,

\begin{align*} \frac{16}{5}-\frac47k=&\,0,\\ k=&\,\frac{28}{5}. \end{align*}

P2 2024 May Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程