题目

Problem

The sequence $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , $\ldots$ satisfies

\begin{align*} u_{n+2}=&\,3u_{n+1}-2u_n \end{align*}

Given that

$u_1=7$
$u_3=4$

(a) find the value of $u_2$

(2)

(b) find $\displaystyle\sum_{r=1}^{4}(u_r+2r)$

(3)

题目中文翻译

数列 $u_1$ 、 $u_2$ 、 $u_3$ 、 $\ldots$ 满足

u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n

已知 $u_1=7$ ， $u_3=4$ 。

(a) 求 $u_2$ 的值。(2)

(b) 求 $\displaystyle\sum_{r=1}^{4}(u_r+2r)$ 。(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

已知递推公式 $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$ ，把 $n=1$ 代入，就能用 $u_1$ 和 $u_3$ 表示 $u_2$ 。

答题过程

展开

Substituting $n=1$ into the recurrence relation,

\begin{align*} u_3=&\,3u_2-2u_1. \end{align*}

Substituting $u_1=7$ and $u_3=4$ ,

\begin{align*} 4=&\,3u_2-2\times7\\ 4=&\,3u_2-14\\ 18=&\,3u_2\\ u_2=&\,6. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先用递推公式求出 $u_4$ ，再逐项代入求和。也可以把求和拆成 $\sum u_r+\sum 2r$ 分别计算。

答题过程

展开

First find $u_4$ . Substituting $n=2$ into the recurrence relation,

\begin{align*} u_4=&\,3u_3-2u_2=3\times4-2\times6=0. \end{align*}

Now evaluate each term of the sum:

\begin{align*} r=1:\quad u_1+2(1)=&\,7+2=9\\ r=2:\quad u_2+2(2)=&\,6+4=10\\ r=3:\quad u_3+2(3)=&\,4+6=10\\ r=4:\quad u_4+2(4)=&\,0+8=8 \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \sum_{r=1}^{4}(u_r+2r)=&\,9+10+10+8=37. \end{align*}

解法二

思路

展开

把求和拆成两部分： $\sum_{r=1}^{4}u_r$ 和 $\sum_{r=1}^{4}2r$ 。前者逐项求，后者是等差数列求和。

答题过程

展开

\begin{align*} \sum_{r=1}^{4}(u_r+2r) =&\,\sum_{r=1}^{4}u_r\\ &\,\hspace{2pt}+\sum_{r=1}^{4}2r. \end{align*}

From part (a), $u_1=7$ , $u_2=6$ , $u_3=4$ . Using the recurrence relation with $n=2$ ,

\begin{align*} u_4=&\,3u_3-2u_2=3\times4-2\times6=0. \end{align*}

\begin{align*} \sum_{r=1}^{4}u_r=&\,7+6+4+0=17. \end{align*}

And

\begin{align*} \sum_{r=1}^{4}2r=&\,2(1+2+3+4)=2\times10=20. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \sum_{r=1}^{4}(u_r+2r)=&\,17+20=37. \end{align*}

P2 2024 May R Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程