题目

Problem

(a) Find the first 4 terms, in ascending powers of $x$ , of the binomial expansion of

\begin{align*} (3+2x)^6 \end{align*}

giving each coefficient in simplest form.

(4)

(b) Hence find the coefficient of $x^2$ in the expansion of

\begin{align*} \big(2x^2-\frac{1}{6x}\big)(3+2x)^6 \end{align*}

(3)

题目中文翻译

(a) 按 $x$ 的升幂排列，求以下二项式展开的前4项，并将各项系数化为最简形式。(4)

(3+2x)^6

(b) 由此求以下展开式中 $x^2$ 的系数。(3)

\bigg(2x^2-\frac{1}{6x}\bigg)(3+2x)^6

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接按二项式定理计算 $x^0$ 到 $x^3$ 的四个系数。

答题过程

展开

The coefficient of $x^k$ is

c_k=\binom{6}{k}3^{6-k}2^k.

For $k=0,1,2,3$ ,

\begin{align*} c_0=&\,3^6=729\\ c_1=&\,6(3^5)(2)=2916\\ c_2=&\,15(3^4)(4)=4860\\ c_3=&\,20(3^3)(8)=4320. \end{align*}

Hence the first four terms are

\begin{align*} (3+2x)^6=&\,729+2916x\\ &\,\hspace{2pt}+4860x^2+4320x^3+\cdots. \end{align*}

解法二

思路

展开

先提出 $3^6$ ，把括号写成 $1+u$ ，再使用标准二项式展开。

答题过程

展开

Write $u=\dfrac{2x}{3}$ . Then

(3+2x)^6=729(1+u)^6.

The first four terms of $(1+u)^6$ are

1+6u+15u^2+20u^3.

Substituting $u=\dfrac{2x}{3}$ gives

\begin{align*} 6u=&\,4x\\ 15u^2=&\,\frac{20}{3}x^2\\ 20u^3=&\,\frac{160}{27}x^3. \end{align*}

Multiplying each coefficient by $729$ ,

\begin{align*} (3+2x)^6=&\,729+2916x\\ &\,\hspace{2pt}+4860x^2+4320x^3+\cdots. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

要产生 $x^2$ ， $2x^2$ 只能乘常数项，而 $-\dfrac{1}{6x}$ 只能乘 $x^3$ 项。承接 (a) 的两个系数即可。

答题过程

展开

From part (a), the only contributions to the $x^2$ term are

\begin{align*} 2x^2(729)=&\,1458x^2\\ -\frac{1}{6x}(4320x^3)=&\,-720x^2. \end{align*}

Thus the coefficient of $x^2$ is

1458-720=738.

P2 2024 May R Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程