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P2 2024 May R Q7

A Level / Edexcel / P2

IAL 2024 May (R) Paper · Question 7

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(i) Solve, for 0⩽x<2π0\leqslant x<2\pi, the equation

3sin⁡xtan⁡x= 11+cos⁡x\begin{align*} 3\sin x\tan x=&\,11+\cos x \end{align*}

giving the answers in radians to 3 decimal places.

(5)

(ii) Given that

  • 0<θ<90°0<\theta<90°
  • cos⁡θ=13\cos\theta=\dfrac{1}{3}

find, in simplest form, the exact value of tan⁡θ\tan\theta

(2)
题目中文翻译

本题必须展示计算过程的所有步骤。

完全依赖计算器技术的解答不予接受。

(i) 在 0⩽x<2π0\leqslant x<2\pi 内解以下方程，答案以弧度表示，精确到3位小数。(5)

3sin⁡xtan⁡x=11+cos⁡x3\sin x\tan x=11+\cos x

(ii) 已知 0<θ<90∘0<\theta<90^\circ，且 cos⁡θ=13\cos\theta=\dfrac{1}{3}，求 tan⁡θ\tan\theta 的精确值，并化为最简形式。(2)

解答

(i)

解法一

思路

展开

把 tan⁡x\tan x 写成 sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x}，再用 sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2x=1-\cos^2x 把整个方程化成关于 cos⁡x\cos x 的二次方程。

答题过程

展开

Writing tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x},

3sin⁡x⋅sin⁡xcos⁡x= 11+cos⁡x\begin{align*} 3\sin x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=&\,11+\cos x \end{align*} 3sin⁡2xcos⁡x= 11+cos⁡x.\begin{align*} \frac{3\sin^2x}{\cos x}=&\,11+\cos x. \end{align*}

Multiplying both sides by cos⁡x\cos x (noting cos⁡x≠0\cos x\neq0):

3sin⁡2x= 11cos⁡x+cos⁡2x.\begin{align*} 3\sin^2x=&\,11\cos x+\cos^2x. \end{align*}

Using sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2x=1-\cos^2x:

3(1−cos⁡2x)= 11cos⁡x+cos⁡2x\begin{align*} 3(1-\cos^2x)=&\,11\cos x+\cos^2x \end{align*} 3−3cos⁡2x= 11cos⁡x+cos⁡2x\begin{align*} 3-3\cos^2x=&\,11\cos x+\cos^2x \end{align*} 4cos⁡2x+11cos⁡x−3= 0.\begin{align*} 4\cos^2x+11\cos x-3=&\,0. \end{align*}

Factorising:

(4cos⁡x−1)(cos⁡x+3)= 0.\begin{align*} (4\cos x-1)(\cos x+3)=&\,0. \end{align*}

Since −1⩽cos⁡x⩽1-1\leqslant\cos x\leqslant1, the factor cos⁡x+3=0\cos x+3=0 has no solution. So

cos⁡x= 14.\begin{align*} \cos x=&\,\frac{1}{4}. \end{align*} x1= arccos⁡(14)≈ 1.318x2= 2π−x1≈ 4.965.\begin{align*} x_1=&\,\arccos\bigg(\frac14\bigg)\\ \approx&\,1.318\\ x_2=&\,2\pi-x_1\\ \approx&\,4.965. \end{align*} x≈1.318 or x≈4.965\begin{align*} \boxed{x\approx1.318\text{ or }x\approx4.965} \end{align*}

(ii)

解法一

思路

展开

已知 cos⁡θ=13\cos\theta=\frac13，先用勾股恒等式求正的 sin⁡θ\sin\theta，再除以 cos⁡θ\cos\theta。

答题过程

展开

Since cos⁡θ=13\cos\theta=\dfrac{1}{3} and 0<θ<90°0<\theta<90°,

sin⁡2θ= 1−19=89sin⁡θ= 223,since θ is acute.\begin{align*} \sin^2\theta=&\,1-\frac19=\frac89\\ \sin\theta=&\,\frac{2\sqrt2}{3}, \quad\text{since }\theta\text{ is acute}. \end{align*}

Therefore

tan⁡θ= sin⁡θcos⁡θ= 3sin⁡θ= 22.\begin{align*} \tan\theta=&\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\ =&\,3\sin\theta\\ =&\,2\sqrt2. \end{align*}

解法二

思路

展开

直接使用 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+\tan^2\theta=\sec^2\theta，并根据锐角条件选正根。

答题过程

展开

Using 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+\tan^2\theta=\sec^2\theta,

1+tan⁡2θ= 1cos⁡2θ= 9tan⁡2θ= 8.\begin{align*} 1+\tan^2\theta=&\,\frac{1}{\cos^2\theta}\\ =&\,9\\ \tan^2\theta=&\,8. \end{align*}

Since θ\theta is acute, tan⁡θ>0\tan\theta>0. Therefore

tan⁡θ=8=22.\tan\theta=\sqrt8=2\sqrt2.

也可取直角三角形的邻边为 11、斜边为 33；勾股定理给出对边 8\sqrt8，因此正切仍是 222\sqrt2，与解法一相同。