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IAL 2024 Oct Q2

A Level / Edexcel / P2

IAL 2024 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

A sequence of numbers u1,u2,u3,…u_1,u_2,u_3,\ldots is defined by

u1=7u_1=7 un+1=(−1)nun+ku_{n+1}=(-1)^nu_n+k

where kk is a constant.

(a) Show that u5=7u_5=7

(3)

Given that

∑r=14ur=30\sum_{r=1}^{4}u_r=30

(b) find the value of kk.

(2)

(c) Hence find the value of

∑r=1150ur\sum_{r=1}^{150}u_r
(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

逐项代入递推式即可。注意 (−1)n(-1)^n 的符号会交替出现。

答题过程

展开

Since u1=7u_1=7,

u2= (−1)1u1+k=−7+k=k−7,u3= (−1)2u2+k=(k−7)+k=2k−7,u4= (−1)3u3+k=−(2k−7)+k=7−k,u5= (−1)4u4+k=(7−k)+k=7.\begin{align*} u_2=&\,(-1)^1u_1+k=-7+k=k-7,\\ u_3=&\,(-1)^2u_2+k=(k-7)+k=2k-7,\\ u_4=&\,(-1)^3u_3+k=-(2k-7)+k=7-k,\\ u_5=&\,(-1)^4u_4+k=(7-k)+k=7. \end{align*}

Therefore, u5=7u_5=7.

(b)

解法一

思路

展开

把前四项相加并令其等于 3030。

答题过程

展开

Using

u1=7,u2=k−7,u3=2k−7,u4=7−k,\begin{align*} u_1=7,\quad u_2=k-7,\quad u_3=2k-7,\quad u_4=7-k, \end{align*}

we have

7+(k−7)+(2k−7)+(7−k)= 302k= 30k= 15.\begin{align*} 7+(k-7)+(2k-7)+(7-k)=&\,30\\ 2k=&\,30\\ k=&\,15. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

前四项会循环。150=37×4+2150=37\times4+2，所以先算 3737 组完整循环，再加前两项。

答题过程

展开

When k=15k=15, the first four terms are

7,8,23,−8.\begin{align*} 7,\quad 8,\quad 23,\quad -8. \end{align*}

Their sum is 3030. Since

150=37×4+2,\begin{align*} 150=37\times4+2, \end{align*}

we get

∑r=1150ur= 37(30)+7+8= 1110+15= 1125.\begin{align*} \sum_{r=1}^{150}u_r =&\,37(30)+7+8\\ =&\,1110+15\\ =&\,1125. \end{align*}