题目

Problem

A sequence of numbers $u_1,u_2,u_3,\ldots$ is defined by

u_1=7

u_{n+1}=(-1)^nu_n+k

where $k$ is a constant.

(a) Show that $u_5=7$

(3)

Given that

\sum_{r=1}^{4}u_r=30

(b) find the value of $k$ .

(2)

\sum_{r=1}^{150}u_r

(2)

题目中文翻译

数列 $u_1,u_2,u_3,\ldots$ 定义为

u_1=7,\qquad u_{n+1}=(-1)^nu_n+k

其中 $k$ 为常数。

(a) 证明 $u_5=7$ 。(3)

已知

\sum_{r=1}^{4}u_r=30

(b) 求 $k$ 的值。(2)

\sum_{r=1}^{150}u_r

解答

(a)

解法一

思路

展开

逐项代入递推式即可。注意 $(-1)^n$ 的符号会交替出现。

答题过程

展开

Since $u_1=7$ ,

\begin{align*} u_2=&\,-u_1+k=k-7\\ u_3=&\,u_2+k=2k-7\\ u_4=&\,-u_3+k=7-k\\ u_5=&\,u_4+k=7. \end{align*}

Therefore, $u_5=7$ .

(b)

解法一

思路

展开

把前四项相加并令其等于 $30$ 。

答题过程

展开

Using

\begin{align*} u_1=&\,7,\qquad u_2=k-7\\ u_3=&\,2k-7,\qquad u_4=7-k. \end{align*}

we have

\begin{align*} 7+(k-7)+(2k-7)+(7-k)=&\,30\\ 2k=&\,30\\ k=&\,15. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

前四项会循环。 $150=37\times4+2$ ，所以先算 $37$ 组完整循环，再加前两项。

答题过程

展开

When $k=15$ , the first four terms are

\begin{align*} 7,\quad 8,\quad 23,\quad -8. \end{align*}

Their sum is $30$ . Also, $u_5=u_1$ , and $(-1)^{n+4}=(-1)^n$ , so both the term value and the recurrence sign repeat after four steps. Hence the four-term cycle repeats.

Since

\begin{align*} 150=&\,37\times4+2, \end{align*}

we get

\begin{align*} \sum_{r=1}^{150}u_r =&\,37(30)+7+8\\ =&\,1110+15\\ =&\,1125. \end{align*}

相邻两项之和交替为 $7+8=15$ 和 $23-8=15$ ，因此也可用 $75$ 对算得 $75\times15=1125$ 。或先算 $38$ 个完整循环，再减去最后的 $23$ 和 $-8$ ：

38(30)-\big(23+(-8)\big)=1125.

P2 2024 Oct Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程