题目

Problem

(a) Find, in terms of $a$ , the first 3 terms, in ascending powers of $x$ , of the binomial expansion of

(2+ax)^6

where $a$ is a non-zero constant. Give each term in simplest form.

(3)

f(x)=\big(3+\frac1x\big)^2(2+ax)^6

Given that the constant term in the expansion of $f(x)$ is $576$

(b) find the value of $a$ .

(4)

题目中文翻译

(a) 用 $a$ 表示以下二项式展开的前3项，按 $x$ 的升幂排列，并将各项化为最简形式。其中 $a$ 为非零常数。(3)

(2+ax)^6

f(x)=\bigg(3+\frac1x\bigg)^2(2+ax)^6

已知 $f(x)$ 的展开式中的常数项为 $576$ 。

(b) 求 $a$ 的值。(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

只需要前三项，即 $x^0,x^1,x^2$ 的项。二项式系数分别是 $1,6,15$ 。

答题过程

展开

\begin{align*} &\,(2+ax)^6\\ =&\,2^6+{6\choose1}2^5(ax)\\ &\,\hspace{2pt}+{6\choose2}2^4(ax)^2+\cdots\\ =&\,64+192ax+240a^2x^2+\cdots . \end{align*}

解法二

思路

展开

提出 $2^6$ ，将括号标准化为 $1+u$ 后展开。

答题过程

展开

Let $u=\dfrac{ax}{2}$ . Then

(2+ax)^6=64(1+u)^6.

The first three terms are

64\big(1+6u+15u^2\big).

Substituting for $u$ ,

\begin{align*} 64(1)=&\,64\\ 64(6u)=&\,192ax\\ 64(15u^2)=&\,240a^2x^2. \end{align*}

Hence the required first three terms are

64+192ax+240a^2x^2.

(b)

解法一

思路

展开

要找常数项，需要把 $\big(3+\frac1x\big)^2$ 展开后，与 (a) 中不同幂次的项配对，使 $x$ 的总次数为 $0$ 。

答题过程

展开

First,

\begin{align*} \big(3+\frac1x\big)^2 =&\,9+\frac6x+\frac1{x^2}. \end{align*}

Also,

\begin{align*} (2+ax)^6=&\,64+192ax+240a^2x^2+\cdots . \end{align*}

The constant term in $f(x)$ is formed by

\begin{align*} 9(64)=&\,576\\ \frac6x(192ax)=&\,1152a\\ \frac1{x^2}(240a^2x^2)=&\,240a^2. \end{align*}

So the constant term is

\begin{align*} 9(64)+6(192a)+240a^2 =&\,576+1152a+240a^2. \end{align*}

This is equal to $576$ , so

\begin{align*} 576+1152a+240a^2=&\,576\\ 1152a+240a^2=&\,0\\ a(1152+240a)=&\,0. \end{align*}

Since $a$ is non-zero,

\begin{align*} 1152+240a=&\,0\\ a=&\,-\frac{1152}{240}\\ =&\,-\frac{24}{5}. \end{align*}

P2 2024 Oct Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程