本题必须展示计算过程的所有步骤。

完全依赖计算器技术的解答不予接受。

图1给出曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的一部分的草图。$C_1$ 的方程为

$C_2$ 的方程为

两曲线相交于图1所示的点 $P$ 和 $Q$。

(a) 使用代数方法求 $P$ 和 $Q$ 的 $x$ 坐标。(4)

图1中阴影所示的有限区域 $R$ 由 $C_1$ 和 $C_2$ 围成。

(b) 使用代数积分求 $R$ 的精确面积。(4)

交点处两个 $y$ 相等。因为有 $\frac9{x^2}$，先乘以 $x^2$，把它化成关于 $x^2$ 的二次方程。

At the intersections,

Multiply by $x^2$:

Factorise as a quadratic in $x^2$:

So

Since $x>0$,

Therefore, the $x$ coordinates of $P$ and $Q$ are $1$ and $3$.

不必先乘出四次式，可以把两个含 $x$ 的倒数项直接配成两个因式，再用 $x>0$ 求根。

At an intersection,

Factorising directly,

Thus either

or

The negative square roots are excluded since $x>0$. Hence $x_P=1$ and $x_Q=3$.

先消去 $x^2$ 得到关于 $y$ 的二次方程，求两个交点的高度，再代回 $x^2=y-3$。

From $C_1$, $x^2=y-3$. Substitute this into $C_2$:

Since $x>0$, $y-3=x^2>0$, so multiplying through is valid:

For $y=4$, $x^2=1$, hence $x=1$.

For $y=12$, $x^2=9$, hence $x=3$.

Therefore $x_P=1$ and $x_Q=3$.

在 $1<x<3$ 上，上方曲线是 $C_2$，下方曲线是 $C_1$。面积是上减下的积分。

Between the intersections, $C_2$ is above $C_1$ (for example, at $x=2$ their heights are $43/4$ and $7$). Thus the area is

Simplify:

So

Therefore, the exact area of $R$ is