题目

Problem

(a) Find the first 4 terms, in ascending powers of $x$ , of the binomial expansion of

(2-5x)^8

giving each term in simplest form.

(4)

This expansion is to be used to find an approximation for $2.05^8$

(b) State the value of $x$ that should be used.

(There is no need to carry out this calculation.)

(1)

题目中文翻译

(a) 求 $(2-5x)^8$ 的二项式展开式中，按 $x$ 的升幂排列的前4项，并将每项化为最简形式。（4分）

该展开式将用于求 $2.05^8$ 的近似值。

(b) 写出应使用的 $x$ 值。（不需要进行该近似值的计算。）（1分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

直接把 $(2-5x)^8$ 当作二项式展开。前四项对应 $x^0,x^1,x^2,x^3$ 。

答题过程

展开

Using the binomial expansion,

\begin{align*} &\,(2-5x)^8\\ =&\,2^8+{8\choose1}2^7(-5x)\\ &\,\hspace{2pt}+{8\choose2}2^6(-5x)^2\\ &\,\hspace{4pt}+{8\choose3}2^5(-5x)^3+\cdots . \end{align*}

Now simplify each term:

\begin{align*} 2^8=&\,256,\\[4mm] {8\choose1}2^7(-5x)=&\,8(128)(-5x)\\ =&\,-5120x,\\[4mm] {8\choose2}2^6(-5x)^2=&\,28(64)(25x^2)\\ =&\,44800x^2,\\[4mm] {8\choose3}2^5(-5x)^3=&\,56(32)(-125x^3)\\ =&\,-224000x^3. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} (2-5x)^8 =&\,256-5120x+44800x^2\\ &\,\hspace{2pt}-224000x^3+\cdots . \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以先提出 $2^8$ ，把它变成 $256(1-\frac52x)^8$ 。这样展开对象变成 $1+u$ 的形式。

答题过程

展开

First write

\begin{align*} (2-5x)^8 =&\,2^8\bigg(1-\frac52x\bigg)^8. \end{align*}

Then

\begin{align*} &\,\bigg(1-\frac52x\bigg)^8\\ =&\,1+8\bigg(-\frac52x\bigg)\\ &\,\hspace{2pt}+28\bigg(-\frac52x\bigg)^2\\ &\,\hspace{4pt}+56\bigg(-\frac52x\bigg)^3+\cdots\\ =&\,1-20x+175x^2-875x^3+\cdots . \end{align*}

Multiplying by $256$ ,

\begin{align*} &\,(2-5x)^8\\ =&\,256\big(1-20x+175x^2\\ &\,\hspace{2pt}-875x^3+\cdots\big)\\ =&\,256-5120x+44800x^2\\ &\,\hspace{2pt}-224000x^3+\cdots . \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

要用 $(2-5x)^8$ 近似 $2.05^8$ ，就让 $2-5x=2.05$ 。

答题过程

展开

We need

\begin{align*} 2-5x=&\,2.05\\ -5x=&\,0.05\\ x=&\,-0.01. \end{align*}

So the value of $x$ should be $-0.01$ .

P2 2025 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程