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P2 2025 Jan Q4

A Level / Edexcel / P2

IAL 2025 Jan Paper · Question 4

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Given that, in a particular geometric series,

  • the sum of the first three terms is 70.270.2
  • the sum to infinity is 7575

find, for this series,

(a) the common ratio,

(4)

(b) the first term.

(2)
题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。完全依赖计算器技术的解答不可接受。

已知某等比级数的前三项之和为 70.270.2，无穷和为 7575。

求该级数的：

(a) 公比。（4分）

(b) 首项。（2分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

设首项为 aa，公比为 rr。用 S3=70.2S_3=70.2 和 S∞=75S_\infty=75 建两个方程，再消去 aa。

答题过程

展开

Since the sum to infinity exists, ∣r∣<1|r|<1. For a geometric series,

S3= a(1−r3)1−r,S∞= a1−r.\begin{align*} S_3=&\,\frac{a(1-r^3)}{1-r},\\ S_\infty=&\,\frac{a}{1-r}. \end{align*}

So

a(1−r3)1−r= 70.2,a1−r= 75.\begin{align*} \frac{a(1-r^3)}{1-r}=&\,70.2,\\ \frac{a}{1-r}=&\,75. \end{align*}

Substitute a1−r=75\frac{a}{1-r}=75 into the first equation:

75(1−r3)= 70.21−r3= 0.936r3= 0.064r= 0.4.\begin{align*} 75(1-r^3)=&\,70.2\\ 1-r^3=&\,0.936\\ r^3=&\,0.064\\ r=&\,0.4. \end{align*}

Therefore, the common ratio is 0.40.4.

同一消元也可用尾和核验：S∞−S3=75r3=4.8S_\infty-S_3=75r^3=4.8，仍得 r3=0.064r^3=0.064。若不先约去 1−r1-r，会得到四次式

 75r4−75r3−4.8r+4.8= (r−1)(75r3−4.8)=0.\begin{align*} &\,75r^4-75r^3-4.8r+4.8\\ =&\,(r-1)(75r^3-4.8)=0. \end{align*}

由 ∣r∣<1|r|<1 排除 r=1r=1，剩下的就是上面的三次关系，不需要另写重复解法。

(b)

解法一

思路

展开

把 r=0.4r=0.4 代回无穷和公式即可。

答题过程

展开

Using

a1−r=75\begin{align*} \frac{a}{1-r}=75 \end{align*}

with r=0.4r=0.4,

a1−0.4= 75a0.6= 75a= 45.\begin{align*} \frac{a}{1-0.4}=&\,75\\ \frac{a}{0.6}=&\,75\\ a=&\,45. \end{align*}

So the first term is 4545.

若反过来用 r=1−a/75r=1-a/75 消元，得到的三次式为

 a35625−a225 +3a−70.2=0.\begin{align*} &\,\frac{a^3}{5625}-\frac{a^2}{25}\\ &\,\hspace{2pt}+3a-70.2=0. \end{align*}

乘以 56255625 并因式分解：

(a−45)(a2−180a+8775)=0.(a-45)(a^2-180a+8775)=0.

二次因子的判别式为 1802−4(8775)=−2700<0180^2-4(8775)=-2700<0，故唯一实数首项仍是 a=45a=45。这与前面的消元骨架相同。