$f(x)=3x^3+ax^2-10x+b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。

已知 $(3x-4)$ 是 $f(x)$ 的因式，

(a) 证明 $16a+9b=56$。（2分）

又已知 $f(x)$ 除以 $(x-2)$ 的余数为 $b$，

(b) 求 $a$ 和 $b$。（4分）

(c) 由此，用代数方法将 $f(x)$ 完全因式分解。（3分）

已知 $3x-4$ 是因式，应用因式定理 $f(4/3)=0$。逐项算分数，再乘以 $9$ 清除分母，推出题目给出的关系。

Since $3x-4$ is a factor,

Thus

Multiplying by $9$ gives

as required.

直接用多项式除法除以 $3x-4$，余数必须为零。每次用余式的最高次项决定下一项商，最后得同一关系。

Divide $f(x)$ by $3x-4$. The first quotient term is $x^2$:

The next quotient term is $\frac{a+4}{3}x$:

The last quotient term is $\frac{4a-14}{9}$, giving remainder

Since $3x-4$ is a factor, the remainder is zero:

余数定理给出 $f(2)=b$。先消去两边的 $b$ 求 $a$，再用 (a) 的关系求 $b$。

By the remainder theorem, $f(2)=b$. Hence

Using part (a),

Therefore $a=-1$ and $b=8$.

除以 $x-2$，计算余数再令它等于原题的 $b$。不能把“余数为 $b$”误读为“余数为零”。

Divide $f(x)$ by $x-2$. The successive quotient terms are $3x^2$, $(a+6)x$ and $2a+2$:

The given remainder is $b$, so

Substituting into $16a+9b=56$ gives $-16+9b=56$, hence $b=8$.

承接 (a)、(b)，使用已知因式 $3x-4$ 做长除法求二次商，再因式分解二次式。

Using part (b),

Divide by the given factor $3x-4$.

First quotient term $x^2$:

Next quotient term $x$:

Last quotient term $-2$:

Thus the quotient is $x^2+x-2$, and

Therefore

待定系数法：商的系数用 $p,q,s$ 表示，避免与已求出的原题常数 $a,b$ 混淆。比较最高次、常数和二次项系数即可求商。

Using $a=-1$ and $b=8$, and the known factor $3x-4$, write

Comparing coefficients with $3x^3-x^2-10x+8$:

Therefore

也可以先证明另一个因式。例如 $f(1)=3-1-10+8=0$，才可除以 $x-1$，得到

关键是先证新因式，不能只凭计算器给出的根直接写乘积。