点 $A(-1,2)$ 和 $B(11,6)$ 都在圆心为 $P$ 的圆上。点 $M$ 是 $AB$ 的中点。

已知直线 $l$ 经过 $M$ 和 $P$，如图2所示，

(a) 求 $l$ 的方程，以 $y=mx+c$ 的形式作答，其中 $m$ 和 $c$ 是常数。（4分）

已知 $P$ 的坐标为 $(7,k)$，其中 $k$ 是常数，

(b) 求 $k$。（1分）

(c) 求圆的方程。（3分）

圆心到弦的中点连线垂直于弦，所以 $MP$ 垂直于 $AB$。先求 $M$ 和 $AB$ 的斜率，再求垂线方程。

The midpoint of $A(-1,2)$ and $B(11,6)$ is

Therefore $M=(5,4)$. The gradient of $AB$ is

Since $MP$ is perpendicular to $AB$, the gradient of $l$ is $-3$.

Using point $M(5,4)$,

Therefore, the equation of $l$ is

因为 $P(7,k)$ 在直线 $l$ 上，把 $x=7$ 代入第 (a) 题的直线方程。

Since $P(7,k)$ lies on $l$,

So $k=-2$.

圆心是 $P(7,-2)$。半径可以用 $P$ 到 $B$ 的距离求，所以圆方程是 $(x-7)^2+(y+2)^2=r^2$。

The centre is

Using point $B(11,6)$,

Therefore, the equation of the circle is

圆的一般式方程。已知圆心坐标为 $(7,-2)$，可以将圆的方程设为 $x^2 + y^2 - 14x + 4y = \lambda$。由于已知点 $B(11,6)$ 在圆上，代入此点可以直接解出常数 $\lambda$，得到圆的方程。

Since the circle has centre $P(7,-2)$, we can write its equation in general form:

Since the point $B(11,6)$ lies on the circle, substitute $x = 11$ and $y = 6$:

Therefore, the equation of the circle is:

这与标准式 $(x-7)^2+(y+2)^2=80$ 等价。换用点 $A$ 也得到 $PA^2=(-1-7)^2+(2+2)^2=80$，只是同一半径公式的核验。