题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(i) The table below shows values of $x$ and $y$ , where $y=\log_{10}(x+5)$ , for $x$ values between $-1$ and $4$

$x$	$y=\log_{10}(x+5)$
$-1$	$\log_{10}4$
$0$	$\log_{10}5$
$1$	$\log_{10}6$
$2$	$\log_{10}7$
$3$	$\log_{10}8$
$4$	$\log_{10}9$

Using the trapezium rule with all the $y$ values in the given table, show that

\int_{-1}^{4}\log_{10}(x+5)\,\mathrm{d}x\approx\log_{10}k

where $k$ is an integer to be found.

(3)

(ii) Find the value of $a$ such that

2\log_5(5-a)-\log_5(a+25)=1

(5)

题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。完全依赖计算器技术的解答不可接受。

(i) 当 $x$ 在 $-1$ 与 $4$ 之间时，下表给出 $y=\log_{10}(x+5)$ 的值：

$x$	$y=\log_{10}(x+5)$
$-1$	$\log_{10}4$
$0$	$\log_{10}5$
$1$	$\log_{10}6$
$2$	$\log_{10}7$
$3$	$\log_{10}8$
$4$	$\log_{10}9$

使用表中的所有 $y$ 值和梯形法则，证明

\int_{-1}^{4}\log_{10}(x+5)\,\mathrm{d}x \approx\log_{10}k,

其中 $k$ 是待求的整数。（3分）

(ii) 求满足下式的 $a$ ：

2\log_5(5-a)-\log_5(a+25)=1.

（5分）

解答

(i)

解法一

思路

展开

步长为 $1$ ，梯形权重是两端各一次、中间各两次。先令两端对数之和为 $E$ 、中间对数之和为 $B$ ，合并时仍展示全部表值，避免提前用小数近似。

答题过程

展开

The step size is $h=1$ . Define

\begin{align*} E=&\,\log_{10}4+\log_{10}9,\\ B=&\,\log_{10}5+\log_{10}6\\ &\,\hspace{2pt}+\log_{10}7+\log_{10}8. \end{align*}

Using every table value, the trapezium rule gives

\begin{align*} &\,\int_{-1}^{4}\log_{10}(x+5)\,\mathrm{d}x\\ \approx&\,\frac12(E+2B). \end{align*}

By the logarithm laws,

\begin{align*} E=&\,\log_{10}(4\cdot9)=\log_{10}36,\\ B=&\,\log_{10}(5\cdot6\cdot7\cdot8)\\ =&\,\log_{10}1680. \end{align*}

Thus

\begin{align*} \frac12(E+2B) =&\,\frac12\log_{10}36+\log_{10}1680\\ =&\,\log_{10}\sqrt{36}+\log_{10}1680\\ =&\,\log_{10}6+\log_{10}1680\\ =&\,\log_{10}(6\cdot1680)\\ =&\,\log_{10}10080. \end{align*}

Therefore $k=10080$ .

逐个梯形求和也会产生相同的两端一次、中间两次权重，不需另写重复方法。

(ii)

解法一

思路

展开

先写出原对数的定义域，再用幂法则与商法则合并。将 $1$ 写成 $\log_5 5$ 后比较真数。注意平方在对数的真数内部，最后仍要筛根。

答题过程

展开

The original logarithms require

5-a>0,\qquad a+25>0,

so $-25<a<5$ .

Using the logarithm laws and $1=\log_5 5$ :

\begin{align*} &\,\log_5\big((5-a)^2\big)-\log_5(a+25)\\ =&\,\log_5 5. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \log_5\bigg(\frac{(5-a)^2}{a+25}\bigg) =&\,\log_5 5,\\ \frac{(5-a)^2}{a+25}=&\,5. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} (5-a)^2=&\,5(a+25),\\ a^2-10a+25=&\,5a+125,\\ a^2-15a-100=&\,0,\\ (a-20)(a+5)=&\,0. \end{align*}

Thus $a=20$ or $a=-5$ . Reject $20$ , since it is outside $-25<a<5$ .

The only valid solution is $a=-5$ .

也可以先移项合并右侧的对数：

\begin{align*} 2\log_5(5-a)=&\,\log_5(a+25)+\log_5 5,\\ \log_5\big((5-a)^2\big) =&\,\log_5\big(5(a+25)\big). \end{align*}

同样得到 $(5-a)^2=5(a+25)$ ，后续二次式和筛根相同。

解法二

思路

展开

不把 $1$ 改写成对数；合并左侧后直接使用对数定义，转为真数等于 $5^1$ 。仍先保留原式定义域。

答题过程

展开

The original logarithms require $-25<a<5$ .

Apply the power and quotient laws:

\begin{align*} &\,2\log_5(5-a)-\log_5(a+25)=1,\\ &\,\log_5\big((5-a)^2\big)-\log_5(a+25)=1,\\ &\,\log_5\bigg(\frac{(5-a)^2}{a+25}\bigg)=1. \end{align*}

By the definition of a logarithm,

\begin{align*} \frac{(5-a)^2}{a+25}=&\,5^1,\\ (5-a)^2=&\,5(a+25),\\ a^2-10a+25=&\,5a+125,\\ a^2-15a-100=&\,0,\\ (a-20)(a+5)=&\,0. \end{align*}

The possible roots are $20$ and $-5$ . Only $-5$ lies in $-25<a<5$ , so $a=-5$ .

P2 2025 Jan Q7

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程