题目

Problem

Figure 1 shows a sketch of part of the curve with equation

y=\log_3(x+1)-\log_3x

The point $P(a,4)$ lies on the curve.

(a) Find the exact value of the constant $a$ .

(Solutions relying on calculator technology are not acceptable.)

(4)

(b) Use the trapezium rule with $4$ strips of equal width to estimate the value of

\int_1^5(\log_3(x+1)-\log_3x)\,\mathrm{d}x

giving the answer in the form $\log_3 k$ , where $k$ is a constant to be found.

(4)

\int_1^5(\log_3(x+1)-\log_3x)\,\mathrm{d}x

(1)

题目中文翻译

图1是方程为

y=\log_3(x+1)-\log_3x

的曲线的一部分示意图。

点 $P(a,4)$ 在曲线上。

(a) 求常数 $a$ 的精确值。

（依赖计算器技术的解答不予接受。）

(4)

(b) 用梯形法，将区间分成 $4$ 条等宽条带，估计

\int_1^5\big(\log_3(x+1)-\log_3x\big)\,\mathrm{d}x

的值。答案写成 $\log_3 k$ 的形式，其中常数 $k$ 的值待求。

(4)

\int_1^5\big(\log_3(x+1)-\log_3x\big)\,\mathrm{d}x

的更准确估计值。

(1)

解答

(a)

解法一

思路

展开

点 $P(a,4)$ 在曲线上，所以把 $x=a$ ， $y=4$ 代入。再用对数减法公式合并。

答题过程

展开

The logarithms require $a>0$ . Since $P(a,4)$ lies on the curve,

\begin{align*} \log_3(a+1)-\log_3a=4. \end{align*}

Using the subtraction law of logarithms,

\begin{align*} \log_3\bigg(\frac{a+1}{a}\bigg)=&\,4\\ \frac{a+1}{a}=&\,3^4\\ \frac{a+1}{a}=&\,81. \end{align*}

\begin{align*} a+1=&\,81a\\ 1=&\,80a\\ a=&\,\frac1{80}. \end{align*}

Alternatively, the addition law gives

\begin{align*} \log_3(a+1)=&\,4+\log_3a\\ =&\,\log_3 81+\log_3a\\ =&\,\log_3(81a). \end{align*}

Hence $a+1=81a$ , giving the same $a=\frac1{80}$ .

(b)

解法一

思路

展开

条带宽度是 $1$ 。先列五个节点的函数值，再把端点对数之和与内部三个对数之和分别合并。用 $E$ 表示梯形估计值，最后把它写成 $\log_3 k$ ；注意根式来自对数前的 $\frac12$ 。

答题过程

展开

The strip width is

h=\frac{5-1}{4}=1.

Using the subtraction law of logarithms,

y=\log_3\bigg(\frac{x+1}{x}\bigg).

The ordinates are

\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 1&\log_3 2\\ 2&\log_3\frac32\\ 3&\log_3\frac43\\ 4&\log_3\frac54\\ 5&\log_3\frac65 \end{array}

Let $H$ be the sum of the two endpoint ordinates and $I$ the sum of the three interior ordinates. Then

\begin{align*} H=&\,\log_3 2+\log_3\frac65\\ =&\,\log_3\bigg(2\cdot\frac65\bigg)\\ =&\,\log_3\frac{12}{5}. \end{align*}

Also,

\begin{align*} I=&\,\log_3\frac32+\log_3\frac43\\ &\,\hspace{2pt}+\log_3\frac54\\ =&\,\log_3 3-\log_3 2\\ &\,\hspace{2pt}+\log_3 4-\log_3 3\\ &\,\hspace{4pt}+\log_3 5-\log_3 4\\ =&\,\log_3 5-\log_3 2\\ =&\,\log_3\frac52. \end{align*}

Let $E$ denote the trapezium estimate. Thus

\begin{align*} E=&\,\frac h2(H+2I),\\ 2E=&\,H+2I\\ =&\,\log_3\frac{12}{5}+\log_3\frac{25}{4}\\ =&\,\log_3\bigg(\frac{12}{5}\cdot\frac{25}{4}\bigg)\\ =&\,\log_3 15. \end{align*}

Using the power law,

\begin{align*} E=&\,\frac12\log_3 15\\ =&\,\log_3\sqrt{15}. \end{align*}

Therefore,

\int_1^5\big(\log_3(x+1)-\log_3x\big)\,\mathrm{d}x \approx\log_3\sqrt{15},

so $k=\sqrt{15}$ .

(c)

解法一

思路

展开

梯形法要更准确，就把区间分得更细。

答题过程

展开

Use more strips of smaller width.

P2 2025 May A Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程