题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

The binomial expansion, in ascending powers of $x$ , of $(1+kx)^n$ is

1-24x+270x^2+px^3+\cdots

where $k$ and $p$ are constants and $n$ is an integer greater than $1$

(a) Use this information to set up and solve two simultaneous equations to find the value of $k$ and the value of $n$ .

(6)

(b) Hence find the value of $p$ .

(2)

题目中文翻译

本题必须展示计算过程的所有步骤。

完全依赖计算器技术的解答不予接受。

$(1+kx)^n$ 按 $x$ 的升幂展开为

1-24x+270x^2+px^3+\cdots

其中 $k$ 、 $p$ 是常数， $n$ 是大于 $1$ 的整数。

(a) 利用这些信息建立并解两个联立方程，求 $k$ 和 $n$ 的值。

(6)

(b) 由此求 $p$ 的值。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

比较 $(1+kx)^n$ 的 $x$ 项和 $x^2$ 项系数。第一项给 $nk=-24$ ，第二项给 $\binom n2k^2=270$ 。

答题过程

展开

For

\begin{align*} (1+kx)^n, \end{align*}

the coefficient of $x$ is

nk.

\begin{align*} nk=-24. \end{align*}

The coefficient of $x^2$ is

\begin{align*} \binom n2k^2=\frac{n(n-1)}2k^2. \end{align*}

\begin{align*} \frac{n(n-1)}2k^2=270. \end{align*}

From $nk=-24$ ,

\begin{align*} k=-\frac{24}{n}. \end{align*}

Squaring gives $k^2=576/n^2$ . Substitute into the second equation and cancel a factor of $n$ :

\begin{align*} \frac{576(n-1)}{2n}=&\,270\\ \frac{288(n-1)}{n}=&\,270\\ 288n-288=&\,270n\\ 18n=&\,288\\ n=&\,16. \end{align*}

Then

\begin{align*} 16k=&\,-24\\ k=&\,-\frac32. \end{align*}

解法二

思路

展开

同样先比较两个系数，但改为利用 $nk=-24$ ，将第二个方程写成只含 $k$ 的一次方程，先求 $k$ ，再求 $n$ 。

答题过程

展开

Comparing coefficients gives

\begin{align*} nk=&\,-24,\\ \frac{n(n-1)}2k^2=&\,270. \end{align*}

Since $nk=-24$ , neither $n$ nor $k$ is zero. Rewrite the second equation as

\begin{align*} \frac12(nk)\big((n-1)k\big)=&\,270\\ -12(nk-k)=&\,270\\ -12(-24-k)=&\,270\\ 288+12k=&\,270\\ 12k=&\,-18\\ k=&\,-\frac32. \end{align*}

Now use $nk=-24$ :

\begin{align*} -\frac32n=&\,-24\\ n=&\,16. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

$p$ 是 $x^3$ 的系数，所以用 $\binom n3k^3$ ，再代入 $n=16$ 和 $k=-\frac32$ 。

答题过程

展开

The coefficient of $x^3$ is

\begin{align*} p=\binom n3k^3. \end{align*}

Using $n=16$ and $k=-\frac32$ ,

\begin{align*} \binom{16}{3}=&\,\frac{16\cdot15\cdot14}{6}\\ =&\,560. \end{align*}

Also $k^3=-\frac{27}{8}$ , so

\begin{align*} p=&\,560\bigg(-\frac{27}{8}\bigg)\\ =&\,-1890. \end{align*}

P2 2025 May A Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程