本题必须展示计算过程的所有步骤。

完全依赖计算器技术的解答不予接受。

曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$，其中 $f(x)$ 是关于 $x$ 的多项式。

已知

(a) 推出 $y$ 递减时 $x$ 的取值范围。

还已知 $C$ 在 $\frac72$ 处与 $x$ 轴相交。

(b) 写出 $f(x)$ 的一个因式，答案写成 $(Ax+B)$ 的形式，其中 $A$、$B$ 是整数。

(c) 由此求 $f(x)$ 的表达式，写成完全因式分解的形式。

$y$ decreasing 表示 $f'(x)<0$。先找导数的两个零点，再判断符号。

The critical values are found from

So

Since the quadratic $2(3x-2)(x+5)$ has positive leading coefficient, it is negative between its two roots.

Therefore, $y$ is decreasing when

曲线在 $x=\frac72$ 处与 $x$ 轴相交，所以 $f\bigg(\frac72\bigg)=0$，对应因式是 $2x-7$。

Since $C$ cuts the $x$-axis at $x=\frac72$,

Therefore, a factor of $f(x)$ is

先把 $f'(x)$ 展开并积分，得到 $f(x)$，但会有常数 $c$。再用 $f\bigg(\frac72\bigg)=0$ 求 $c$，最后因式分解。

First expand $f'(x)$:

Integrate:

Since $f\bigg(\frac72\bigg)=0$,

Simplifying,

So

Using the factor $2x-7$, divide the polynomial. The first quotient term is $x^2$:

The next quotient term is $10x$:

The final quotient term is $25$:

So

Therefore,

先把导数展开并积分，保留积分常数 $c$。由(b)的因式设 $f(x)=(2x-7)(Ax^2+Bx+C)$，与积分结果比较系数，求出二次因式和常数。这条路线也明确展示了所需积分过程。

First expand and integrate:

From part (b), $2x-7$ is a factor. Let

Expanding this gives

Compare with the integrated expression:

The constant term is $c=-7C=-175$. Therefore,

Equivalently, dividing the integrated expression before finding $c$ gives quotient $x^2+10x+25$ and remainder $c+175$. Since $2x-7$ is a factor, that remainder is zero, again giving $c=-175$.