题目

Problem

The function $f(x)$ is defined by

f(x)=ax^3+bx^2+5x-3

where $a$ and $b$ are constants.

Given that $(x+3)$ is a factor of $f(x)$ ,

(a) show that

b=3a+2

(2)

Given further that when $f(x)$ is divided by $(2x-1)$ the remainder is $\frac74$

(b) find the value of $a$ and the value of $b$ .

(4)

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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$(x+3)$ 是因式，所以 $f(-3)=0$ 。代入后整理即可得到目标式。

答题过程

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Since $(x+3)$ is a factor of $f(x)$ ,

\begin{align*} f(-3)=0. \end{align*}

Substitute $x=-3$ :

\begin{align*} a(-3)^3+b(-3)^2+5(-3)-3=&\,0\\ -27a+9b-15-3=&\,0\\ -27a+9b=&\,18\\ 9b=&\,27a+18\\ b=&\,3a+2. \end{align*}

解法二

思路

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也可以用除法理解：如果 $(x+3)$ 是因式，那么除以 $(x+3)$ 的 remainder 必须是 $0$ 。这样会得到同一个关系式。

答题过程

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Divide $f(x)$ by $(x+3)$ algebraically:

\begin{align*} f(x) =&\,(x+3)\left(ax^2+(b-3a)x+5-3(b-3a)\right)\\ &\,\hspace{2pt}+\left[-3-\{15-9(b-3a)\}\right]. \end{align*}

Since $(x+3)$ is a factor, the remainder is $0$ :

\begin{align*} -3-\{15-9(b-3a)\}=&\,0\\ -18+9b-27a=&\,0\\ 9b=&\,27a+18\\ b=&\,3a+2. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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除以 $(2x-1)$ 的 remainder 是 $f\left(\frac12\right)$ 。用它建立第二个方程，再和第 (a) 题的关系式联立。

答题过程

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Since the remainder when $f(x)$ is divided by $(2x-1)$ is $\frac74$ ,

\begin{align*} f\left(\frac12\right)=\frac74. \end{align*}

\begin{align*} a\left(\frac12\right)^3 +b\left(\frac12\right)^2 +5\left(\frac12\right)-3=&\,\frac74\\ \frac{a}{8}+\frac{b}{4}-\frac12=&\,\frac74\\ \frac{a}{8}+\frac{b}{4}=&\,\frac94. \end{align*}

Multiply by $8$ :

\begin{align*} a+2b=18. \end{align*}

From part (a),

\begin{align*} b=3a+2. \end{align*}

Substitute this into $a+2b=18$ :

\begin{align*} a+2(3a+2)=&\,18\\ 7a+4=&\,18\\ 7a=&\,14\\ a=&\,2. \end{align*}

Then

\begin{align*} b=3(2)+2=8. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} a=2,\qquad b=8. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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先代入 $a=2,b=8$ ，得到 $f(x)=2x^3+8x^2+5x-3$ 。然后用代数恒等式表示除以 $(x-2)$ 的结果。

答题过程

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Using $a=2$ and $b=8$ ,

\begin{align*} f(x)=2x^3+8x^2+5x-3. \end{align*}

Let

\begin{align*} 2x^3+8x^2+5x-3=(x-2)(Ax^2+Bx+C)+R. \end{align*}

Expand the right-hand side:

\begin{align*} (x-2)(Ax^2+Bx+C)+R =&\,Ax^3+Bx^2+Cx\\ &\,\hspace{2pt}-2Ax^2-2Bx-2C+R\\ =&\,Ax^3+(B-2A)x^2\\ &\,\hspace{2pt}+(C-2B)x+(-2C+R). \end{align*}

Compare coefficients:

\begin{align*} A=&\,2,\\ B-2A=&\,8 &&\Rightarrow B=12,\\ C-2B=&\,5 &&\Rightarrow C=29,\\ -2C+R=&\,-3 &&\Rightarrow R=55. \end{align*}

Therefore, the quotient is

\begin{align*} 2x^2+12x+29, \end{align*}

and the remainder is

\begin{align*} 55. \end{align*}

IAL 2025 May Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程