函数 $f(x)$ 定义为

其中 $a$ 和 $b$ 是常数。

已知 $(x+3)$ 是 $f(x)$ 的一个因式，

(a) 证明 $b=3a+2$。（2分）

又已知 $f(x)$ 除以 $(2x-1)$ 的余数为 $\frac74$，

(b) 求 $a$ 和 $b$ 的值。（4分）

(c) 用代数方法求 $f(x)$ 除以 $(x-2)$ 的商和余数。（3分）

$(x+3)$ 是因式，所以 $f(-3)=0$。代入后整理即可得到目标式。

Since $(x+3)$ is a factor of $f(x)$,

Substitute $x=-3$:

用多项式除法依次消去三次项、二次项和一次项。因式条件使最后的余数为 $0$。

Divide by $x+3$. The first quotient term is $ax^2$. Subtract its product:

Set $B=b-3a$. The next quotient term is $Bx$:

The final quotient term is $5-3B$:

Since $x+3$ is a factor, $R=0$. Hence

除以 $(2x-1)$ 的 remainder 是 $f\bigg(\frac12\bigg)$。用它建立第二个方程，再和第 (a) 题的关系式联立。

Since the remainder when $f(x)$ is divided by $(2x-1)$ is $\frac74$,

So

Combining the terms gives $f\big(\frac12\big)=\frac{a+2b-4}{8}$.

Add $4$:

From part (a),

Substitute this into $a+2b=18$:

Then

Therefore,

也可以除以 $2x-1$，用余数等于 $\frac74$ 建立方程。为使长式简洁，令 $B=b+\frac a2$、$C=5+\frac B2$；它们只是除法中的临时记号。

Divide $f(x)$ by $2x-1$. The first quotient term is $\frac a2x^2$:

Let $B=b+\frac a2$. The next quotient term is $\frac B2x$:

Let $C=5+\frac B2$. The final quotient term is $\frac C2$:

The given remainder is $\frac74$, so

Using $b=3a+2$ from part (a),

先代入 $a=2,b=8$，得到 $f(x)=2x^3+8x^2+5x-3$。然后用代数恒等式表示除以 $(x-2)$ 的结果。

Using $a=2$ and $b=8$,

Let

Expand the right-hand side:

Compare coefficients:

Therefore, the quotient is

and the remainder is

代入 $a=2,b=8$ 后，对 $x-2$ 做长除法。每一步写出商项、乘回和相减，即可同时得到商与余数。

From part (b), $f(x)=2x^3+8x^2+5x-3$.

First subtract $2x^2(x-2)$:

Next subtract $12x(x-2)$:

Finally subtract $29(x-2)$:

Thus

The quotient is $2x^2+12x+29$ and the remainder is $55$.