题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

(i) Solve

2\log_2(4-x)=3+\log_2\bigg(\frac{x+11}{2}\bigg)

(5)

(ii) The curves $C_1$ and $C_2$ with equations

y=3^{2x+1} \qquad\text{and}\qquad y=6\times3^x

meet at the point $P$ .

Find the exact coordinates of $P$ , writing your answer in the form $(\log_3 a,b)$ where $a$ and $b$ are integers.

(5)

题目中文翻译

本题必须展示所有解题步骤。依赖计算器技术的解答不予接受。

(i) 解方程

2\log_2(4-x)=3+\log_2\bigg(\frac{x+11}{2}\bigg).

（5分）

(ii) 曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程分别为 $y=3^{2x+1}$ 和 $y=6\times3^x$ ，它们相交于点 $P$ 。

求点 $P$ 的精确坐标，并将答案写成 $(\log_3a,b)$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。（5分）

解答

(i)

解法一

思路

展开

先用对数律把左边的 $2\log$ 合成平方，再把 $3$ 写成 $\log_2 8$ 。最后去掉对数，得到一个二次方程。别忘了检查对数定义域。

答题过程

展开

The logarithms require $4-x>0$ and $x+11>0$ , hence $-11<x<4$ .

First use

\begin{align*} 2\log_2(4-x)=\log_2\big((4-x)^2\big) \end{align*}

and

\begin{align*} 3=\log_2 8. \end{align*}

\begin{align*} \log_2\big((4-x)^2\big) =&\,\log_2 8+\log_2\bigg(\frac{x+11}{2}\bigg)\\ =&\,\log_2\bigg(8\cdot\frac{x+11}{2}\bigg)\\ =&\,\log_2(4x+44). \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} (4-x)^2=4x+44. \end{align*}

Solve:

\begin{align*} 16-8x+x^2=&\,4x+44\\ x^2-12x-28=&\,0\\ (x-14)(x+2)=&\,0. \end{align*}

\begin{align*} x=14\quad\text{or}\quad x=-2. \end{align*}

The logarithms require

4-x>0 \quad\text{and}\quad \frac{x+11}{2}>0,

\begin{align*} -11<x<4. \end{align*}

Hence $x=14$ is not allowed.

Therefore,

\begin{align*} x=-2. \end{align*}

(ii)

解法一

思路

展开

交点处两个 $y$ 相等。把 $3^{2x+1}$ 写成 $3\cdot(3^x)^2$ ，再约去一个 $3^x$ 。

答题过程

展开

At the point of intersection,

\begin{align*} 3^{2x+1}=6\times3^x. \end{align*}

Now

\begin{align*} 3^{2x+1}=3(3^x)^2. \end{align*}

Since $3^x>0$ , we may divide by $3^x$ :

\begin{align*} 3(3^x)^2=&\,6(3^x)\\ 3^x=&\,2. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} x=\log_3 2. \end{align*}

Substitute into $y=6\times3^x$ :

\begin{align*} y=6(2)=12. \end{align*}

Hence

\begin{align*} P=(\log_3 2,12). \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以直接对等式两边取以 $3$ 为底的对数。这样能更清楚地把指数方程变成一次方程。

答题过程

展开

At the intersection,

\begin{align*} 3^{2x+1}=6\times3^x. \end{align*}

Taking $\log_3$ of both sides gives

\begin{align*} \log_3(3^{2x+1}) =&\,\log_3(6\times3^x)\\ 2x+1=&\,\log_3 6+\log_3(3^x)\\ 2x+1=&\,\log_3(3\cdot2)+x\\ 2x+1=&\,1+\log_3 2+x\\ x=&\,\log_3 2. \end{align*}

Then

\begin{align*} y=6\times3^{\log_3 2}=12. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} P=(\log_3 2,12). \end{align*}

解法三

思路

展开

先从 $y=6\cdot3^x$ 表示 $3^x$ ，代入另一条曲线，得到关于 $y$ 的二次方程。因为 $y>0$ ，排除零根，再求精确的 $x$ 。

答题过程

展开

At the intersection, $y=6\cdot3^x>0$ , so $3^x=\frac y6$ .

Substitute into $y=3^{2x+1}$ :

\begin{align*} y=&\,3(3^x)^2\\ =&\,3\bigg(\frac y6\bigg)^2\\ =&\,\frac{y^2}{12}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} 12y=&\,y^2\\ y(y-12)=&\,0. \end{align*}

Since $y>0$ , $y=12$ . Hence

\begin{align*} 3^x=&\,\frac{12}{6}=2,\\ x=&\,\log_3 2. \end{align*}

Thus $P=(\log_3 2,12)$ .

P2 2025 May Q6

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

解法三

思路

答题过程