题目

Problem

Find

\int \frac{x^2-5}{2x^3}\,\mathrm{d}x \qquad x>0

giving your answer in simplest form.

(3)

题目中文翻译

求

\int \frac{x^2-5}{2x^3}\,\mathrm{d}x \qquad x>0

并将答案化为最简形式。

解答

展开

先把被积式拆成两个幂函数，再逐项积分。由于题目给出 $x>0$ ，对数项可以直接写成 $\ln x$ 。

展开

First simplify the integrand:

\frac{x^2-5}{2x^3} =\frac{1}{2x}-\frac{5}{2}x^{-3}

Therefore,

\begin{align*} \int \frac{x^2-5}{2x^3}\,\mathrm{d}x =&\,\frac12\int x^{-1}\,\mathrm{d}x -\frac52\int x^{-3}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac12\ln x+\frac54x^{-2}+c\\[4mm] =&\,\boxed{\frac12\ln x+\frac{5}{4x^2}+c}. \end{align*}

展开

按照官方评分资料列出的替代路线，把被积式看成 $(x^2-5)$ 与 $\frac12x^{-3}$ 的乘积并使用分部积分。常数项最后并入积分常数。

展开

Let

u=x^2-5, \qquad \mathrm{d}v=\frac12x^{-3}\,\mathrm{d}x.

Then

\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x, \qquad v=-\frac14x^{-2}.

Using integration by parts,

\begin{align*} \int \frac{x^2-5}{2x^3}\,\mathrm{d}x =&\,-\frac14(x^2-5)x^{-2} +\frac12\int x^{-1}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,-\frac14+\frac{5}{4x^2} +\frac12\ln x+c. \end{align*}

Absorbing the constant $-\frac14$ into $c$ gives

\boxed{\frac12\ln x+\frac{5}{4x^2}+c}.