(a) 证明

其中 $a,b,c,d$ 为待求整数。

(b) 由此求 $f^{-1}(x)$。

(c) 求 $f^{-1}$ 的定义域。

先因式分解二次式，再通分合并三个分式。所得分子含有因子 $(x+1)$，约去后即可读出 $a,b,c,d$。

We have

First factorise

as

So

Use the common denominator

Then

Now expand the numerator:

Also,

So the numerator is

Therefore

Hence

so one possible set of constants is

令 $y=f(x)$，把等式重新整理成以 $x$ 为主项的形式，最后交换自变量名称即可得到反函数。

Let

Then

Rearrange:

So

Bring the $x$ terms to one side:

Factorise:

Therefore

Replace $y$ by $x$:

反函数的定义域就是原函数的值域。按照 A Level 常用答题方式，代入端点 $x=4$，再结合 $x\to\infty$ 时的水平渐近值确定开区间。

The domain of $f^{-1}$ is the range of $f$.

For

the upper endpoint is found by using $x=4$:

As $x\to\infty$,

Therefore the range of $f$ is

Hence the domain of $f^{-1}$ is